05.5 Changement de variables dans une intégrale multiple

Théorème

Soit $E\subset {\mathbb{R}}^n$ un ouvert borné tel que $\bar{E}$ soit compact. Soit $\Psi :E\to {\mathbb{R}}^n$ une application de classe $C^1$ telle que $\Psi$ est bijective de $E$ sur $D=\Psi (E)$ et la matrice jacobienne $J_{\Psi }(\bar{u})$ est inversible partout. Soit $f:\bar{D}\to \mathbb{R}$ continue. Alors on a

$${\int }_{D}f(\bar{x})d\bar{x}={\int }_{E}f(\Psi (\bar{u}))|\det J_{\Psi }(\bar{u})|d\bar{u}$$

Théorème de Fubini pour les intégrales triples

Théorème

Soit $D=\left\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:a<x<b,{\varphi }_1(x)<y<{\varphi }_2(x)\right\}$ Soient $G,H:\bar{D}\to \mathbb{R}$ continues, telles que $G(x,y)<H(x,y)$ sur $D$. Soit le domaine

$$E=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:(x,y)\in E,G(x,y)<z<H(x,y)\right\}$$

Si $f:\bar{E}\to \mathbb{R}$ est continue, alors $f$ est intégrable sur $E$, et

$${\iiint }_{E}f(x,y,z)dxdydz={\int }_a^b\left({\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}\left({\int }_{G(x,y)}^{H(x,y)}f(x,y,z)dz\right)dy\right)dx$$

Application, changement de variables polaires

En utilisant le théorème de changements de variables

Définition

Les coordonnées polaires sont définies par la transformation $\psi (r,\varphi )$ suivante

$$\psi (r,\varphi )=\{\begin{array}{ll}x& =r\cos \varphi \\ y& =r\sin \varphi \end{array}$$

On a donc une application bijective $\psi :{\mathbb{R}}_{+}^{\star }\times [0,2\pi [\to {\mathbb{R}}^2\setminus \{\vec{0}\}$ On a la matrice jacobienne

$$J_{\psi }(r,\varphi )=\left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & -r\sin \varphi \\ \sin \varphi & r\cos \varphi \end{array}\right)$$

Avec $\det J_{\psi }(r,\varphi )=r({\cos }^2\varphi +{\sin }^2\varphi )=r$

Pour une région $D$ décrite avec des coordonnées polaires par $E=G^{-1}(D)$

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{E}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\cdot rdrd\varphi$$