05.4 Théorème de Fubini sur un domaine régulier

Théorème

1. Pour un domaine entre deux fonctions sur $x$

Soit $[a,b]\subset \mathbb{R}$ et ${\varphi }_1,{\varphi }_2:[a,b]\to \mathbb{R}$ des fonctions continues telles que ${\varphi }_1(x)<{\varphi }_2(x)$ sur $]a,b[$. On définit

$$D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:a<x<b,{\varphi }_1(x)<y<{\varphi }_2\}$$

Alors pour toute fonction continue $f:\bar{D}\to \mathbb{R}$ :

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_a^b\left({\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(x,y)dy\right)dx$$

2. Pour un domaine entre deux fonctions sur $y$

Soit $[c,d]\subset \mathbb{R}$ et ${\Phi }_1,{\Phi }_2:[c,d]\to \mathbb{R}$ des fonctions continues telles que ${\Phi }_1(y)<{\Phi }_2(y)$ sur $]c,d[$. On définit

$$D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:c<y<d,{\Phi }_1(y)<x<{\Phi }_2(y)\}$$

Alors :

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_c^d\left({\int }_{{\Phi }_1(y)}^{{\Phi }_2(y)}f(x,y)dx\right)dy$$

Si $D$ n’est ni de type 1 ou 2, on le divise en plusieurs domaines plus simples, tels que $D=\bigcup D_i$ pour ainsi pouvoir faire l’intégrale en additionnant ces domaines plus simples

$${\iint }_{D}fdxdy=\sum {\iint }_{D_i}fdxdy$$

Pour calculer l’aire d’un domaine $D$, on peut faire

$$\text{Aire}(D)={\iint }_{D}1\cdot dxdy$$

05.5 Changement de variables dans une intégrale multiple