04.5 Fonctions à valeurs dans Rm

Dérivabilité

Définition

On peut considérer les fonctions $\bar{f}:E\subset {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$

$$\bar{f}(\bar{x})=\left(\begin{array}{c}{f}_1(\bar{x})\\ f_2(\bar{x})\\ ⋮\\ f_m(\bar{x})\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^m$$

avec $\bar{x}\in {\mathbb{R}}^n$ et $\bar{f}$ qui possède $m$ composantes

Définition

La $k$-ième dérivée partielle de $\bar{f}$ en $\bar{a}\in E$ est

$$\frac{\delta \bar{f}}{\delta x_k}(\bar{a})=\left(\begin{array}{c}\frac{\delta f_1}{\delta x_k}(\bar{a})\\ \frac{\delta f_2}{\delta x_k}(\bar{a})\\ ⋮\\ \frac{\delta f_m}{\delta x_k}(\bar{a})\end{array}\right)$$

(si chacune des fonctions a une dérivée partielle en $\bar{a}$)

Définition

Soit $\bar{v}\ne 0$, $\bar{v}\in {\mathbb{R}}^n$. La dérivée directionnelle de $\bar{f}$ suivant $\bar{v}$ en $\bar{a}$ est donné par

$$D\bar{f}(\bar{a},\bar{v})=\left(\begin{array}{c}D{f}_1(\bar{a},\bar{v})\\ D{f}_2(\bar{a},\bar{v})\\ ⋮\\ D{f}_m(\bar{a},\bar{v})\end{array}\right)$$

Si les dérivées directionnelles existent pour chaque fonction

Limites

Définition

$\bar{f}$ admet $\bar{\ell }\in {\mathbb{R}}^m$ pour limite lorsque $\bar{x}\to \bar{a}$ tel que

$$0<\Vert \bar{x}-\bar{a}{\Vert }_{{\mathbb{R}}^n}\le \delta ⟹\Vert \bar{f}(\bar{x})-\bar{\ell }{\Vert }_{{\mathbb{R}}^m}\le ϵ$$

En particulier on a

$$\underset{\bar{x}\to \bar{a}}{\lim }\bar{f}(\bar{x})=\left(\begin{array}{c}{\lim }_{\bar{x}\to \bar{a}}{f}_1(\bar{x})\\ ⋮\\ {\lim }_{\bar{x}\to \bar{a}}{f}_m(\bar{x})\end{array}\right)$$

Définition

On a $\bar{f}$ est dérivable au point $\bar{a}\in E$ s’il existe une transformation $L_{\bar{a}}$ et une fonction $\bar{r}$, telles que

$$\bar{f}(\bar{x})=\bar{f}(\bar{a})+L_{\bar{a}}(\bar{x}-\bar{a})+\bar{r}(\bar{x})$$

et on a également que

$$\underset{\bar{x}\to \bar{a}}{\lim }\frac{\bar{r}(\bar{x})}{\Vert \bar{x}-\bar{a}\Vert }=0$$

On a que $L_{\bar{a}}$ la différentielle de $\bar{f}$ en $\bar{a}$

Proposition

$\bar{f}$ est dérivable en $\bar{a}$ ⇐> chaque composante est dérivable en $\bar{a}$ On a alors que

$$L_{\bar{a}}(\bar{v})=\left(\begin{array}{c}{L}_{1,\bar{a}}(\bar{v})\\ ⋮\\ L_{m,\bar{a}}(\bar{v})\end{array}\right)$$

où les transformations linéaires $L_{i,\bar{a}}(\bar{v})=⟨\nabla f_i(\bar{a}),\bar{v}⟩$

La matrice jacobienne

Définition

Si $\bar{f}$ possède toutes les dérivées partielles en $\bar{a}\in E$ alors sa matrice jacobienne est définie par

$${\mathcal{J}}_{\bar{f}}(\bar{a})=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\delta f_1}{\delta x_1}(\bar{a})& \dots & \frac{\delta f_1}{\delta x_n}(\bar{a})\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\delta f_m}{\delta x_1}(\bar{a})& \dots & \frac{\delta f_m}{\delta x_n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\nabla f_1(\bar{a})\\ ⋮\\ \nabla f_m(\bar{a})\end{array}\right)$$

Définition

Quand on a $m=n$, ont définit le déterminant de Jacobi de $\bar{f}$ en $\bar{a}$

$$\det {\mathcal{J}}_{\bar{f}}(\bar{a})=\frac{D(f_1\dots f_n)}{D(x_1\dots x_n)}(\bar{a})$$

04.6 Application des matrices jacobiennes