02.1 Introduction aux référentiels accélérés

Les lois de Newton (que l’on verra plus tard), sont applicables dans un référentiel Galiléen, c’est-à-dire qu’il a une vitesse constante (nulle ou non).

Si cependant le référentiel bouge de manière non-uniforme, il faut adapter à un autre référentiel, et faire le lien avec un référentiel galiléen.

Introduction

Pour un référentiel $\mathcal{R}$ fixe, avec les coordonnées cartésiennes et un centre $O$ (on dit repère cartésien $(O,{\vec{x}}_1,{\vec{x}}_2,{\vec{x}}_3)$), et un référentiel ${\mathcal{R}}^{\prime }$ en mouvement dans $\mathcal{R}$, qui est en mouvement par rapport à $\mathcal{R}$, avec le repère cartésien $(A,{\vec{y}}_1,{\vec{y}}_2,{\vec{y}}_3)$

Notation selon le référentiel

On repère un point $P$ dans les deux référentiels, par les formules :

$$\begin{array}{lccc}\text{Dans }\mathcal{R}& \overrightarrow{OP}={\sum }_i{x}_i{\vec{e}}_{x_i}& {\vec{v}}_{\mathcal{R}}(P)={\sum }_i{\dot{x}}_i{\vec{e}}_{x_i}& {\vec{a}}_{\mathcal{R}}(P)={\sum }_i{\ddot{x}}_i{\vec{e}}_{x_i}\\ \text{Dans }{\mathcal{R}}^{\prime }& \overrightarrow{AP}={\sum }_i{y}_i{\vec{e}}_{y_i}& {\vec{v}}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}(P)={\sum }_i{\dot{y}}_i{\vec{e}}_{y_i}& {\vec{a}}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}(P)={\sum }_i{\ddot{y}}_i{\vec{e}}_{y_i}\end{array}$$

Pour se simplifier la tâche, on sépare le mouvement de ${\mathcal{R}}^{\prime }$ dans $\mathcal{R}$ en deux composantes :

1. Une rotation
2. Une translation

On note donc la rotation des axes $y_i$ par rapport à $x_i$ par le vecteur $\vec{\omega }$

Vu que les vecteurs unitaires bougent et tournent dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$, on a leurs dérivées

$$\frac{d}{dt}{\vec{e}}_{y_i}=\dot{{\vec{e}}_{y_i}}=\vec{\omega }\wedge {\vec{e}}_{y_i}$$

02.2 Dérivation des référentiels accélérés