02.2 Dérivation des référentiels accélérés

On considère que $P$ se déplace dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$, avec un repère $(A,{\vec{y}}_1,{\vec{y}}_2,{\vec{y}}_3)$.
On a également que ${\mathcal{R}}^{\prime }$ se déplace dans $\mathcal{R}:(O,{\vec{x}}_1,{\vec{x}}_2,{\vec{x}}_3)$

On a les vecteurs position

• $\overrightarrow{OP}$ la position de $P$ dans $\mathcal{R}$
• $\overrightarrow{OA}$ la position de $A$ dans $\mathcal{R}$ (ou la position de ${\mathcal{R}}^{\prime }$ dans $\mathcal{R}$)
• $\overrightarrow{AP}$ la position de $P$ dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$

Quand on essaie de trouver la vitesse de $P$ dans $\mathcal{R}$, il faut prendre en compte le mouvement du référentiel en mouvement

$${\vec{v}}_{\mathcal{R}}(P)=\frac{d}{dt}(\overrightarrow{OP})=\frac{d}{dt}(\overrightarrow{OA})+\frac{d}{dt}(\overrightarrow{AP})={\vec{v}}_{\mathcal{R}}(A)+{\vec{v}}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}(P)$$

Vu que c’est une somme, ceci est trivial (en effet on a $f=g+h⟹f^{\prime }=g^{\prime }+h^{\prime }$)

Vu qu’on prend en compte également la rotation on

$${\vec{v}}_{\mathcal{R}}(P)={\vec{v}}_{\mathcal{R}}(A)+{\vec{v}}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}(P)+\vec{\omega }\wedge \overrightarrow{AP}$$

Pour l’accélération, on peut dériver de manière similaire, on trouve ainsi

$${\vec{a}}_{\mathcal{R}}(P)={\vec{a}}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}(P)+{\vec{a}}_{\mathcal{R}}(A)+\dot{\vec{\omega }}\wedge \overrightarrow{AP}+\vec{\omega }\wedge (\vec{\omega }\wedge \overrightarrow{AP})+2\vec{\omega }\wedge {\vec{v}}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}(P)$$

02.3 Cas particuliers des référentiels accélérés