01.7 Coordonnées sphériques

Ces coordonnées sont pratiques pour décrire un mouvement qui est sur une sphère, par exemple, un mouvement d’une bille dans un bol.

C’est similaire au coordonnées polaires, mais on ajoute une deuxième variable de rotation.

Définition des coordonnées sphériques

On utilise le rayon $r\in {\mathbb{R}}_{+}$, et les angles $\varphi ,\theta$, avec $\varphi \in [0,2\pi [$ et $\theta \in [0\pi [$

$$\{\begin{array}{ll}x& =r\sin \theta \cos \varphi \\ y& =r\sin \theta \sin \varphi \\ z& =r\cos \theta \end{array}$$

On trouve les vecteurs de base ${\vec{e}}_r,{\vec{e}}_{\theta },{\vec{e}}_{\varphi }$, qui sont reliés à ${\vec{e}}_x,{\vec{e}}_y,{\vec{e}}_z$ par

$$\{\begin{array}{llcc}{\vec{e}}_r& =\sin \theta \cos \varphi {\vec{e}}_x& +\sin \theta \cos \varphi {\vec{e}}_y& +\cos \theta {\vec{e}}_z\\ {\vec{e}}_{\theta }& =\cos \theta \sin \varphi {\vec{e}}_x& +\cos \theta \sin \varphi {\vec{e}}_y& -\sin \theta {\vec{e}}_z\\ {\vec{e}}_{\varphi }& =-\sin \varphi {\vec{e}}_x& +\cos \varphi {\vec{e}}_y& \end{array}$$

On peut déjà voir que les vecteurs changent selon la position. Cela implique donc que les dérivées sont non-nulles

On trouve

$$\{\begin{array}{llcc}{\dot{\vec{e}}}_r& =& +\dot{\theta }{\vec{e}}_{\theta }& +\dot{\varphi }\sin \theta {\vec{e}}_{\varphi }\\ {\dot{\vec{e}}}_{\theta }& =-\dot{\theta }{\vec{e}}_r& & +\dot{\varphi }\cos \theta {\vec{e}}_{\varphi }\\ \dot{{\vec{e}}_{\varphi }}& =-\dot{\varphi }\sin \theta {\vec{e}}_r& -\dot{\varphi }\cos \theta {\vec{e}}_{\theta }& \end{array}$$

On peut également tirer la position, la vitesse ainsi que l’accélération

$$\begin{array}{lcc}\text{position :}& \vec{r}(t)& =r{\vec{e}}_r\\ \text{vitesse :}& \vec{v}(t)& =\dot{r}{\vec{e}}_r+r\dot{\theta }{\vec{e}}_{\theta }+r\dot{\varphi }\sin \theta {\vec{e}}_{\varphi }\\ \text{acceˊleˊration :}& \vec{a}(t)& =a_r{\vec{e}}_r+a_{\theta }{\vec{e}}_{\theta }+a_{\varphi }{\vec{e}}_{\varphi }\end{array}$$

Avec les composantes de l’accélération

$$\{\begin{array}{ll}{a}_r=& \ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2-r{\dot{\varphi }}^2{\sin }^2\theta \\ a_{\theta }=& r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }-r{\dot{\varphi }}^2\cos \theta \sin \theta \\ a_{\varphi }=& r\ddot{\varphi }\sin \theta +2r\dot{\varphi }\dot{\theta }\cos \theta +2\dot{r}\dot{\varphi }\sin \theta \end{array}$$

01.8 Mouvement circulaire — vecteur rotation