01.6 Coordonnées cylindriques

Pour analyser un mouvement en trois dimensions, on peut utiliser le système des coordonnées cylindriques.

On se base sur les coordonnées polaires, puis on ajoute l’axe $z$

On se déplace ainsi sur un cylindre, d’où le nom des coordonnées.

On a donc

$$P|\begin{array}{c}x=\rho \cos \varphi \\ y=\rho \sin \varphi \\ z\end{array}$$

Avec $\rho \in [0,\infty [$, $\varphi \in [0,2\pi [$, $z\in \mathbb{R}$

On peut imager cela comme un porte qui s’ouvre, avec un point situé sur cette porte.

On fait donc un mélange avec les coordonnées polaires et les coordonnées cartésiennes.

Exprimons donc les vecteurs $\vec{r},\vec{v},\vec{a}$

• $\vec{r}=\overrightarrow{OP}=\rho {\vec{e}}_{\rho }+z{\vec{e}}_z$
• $\vec{v}=\dot{\vec{r}}$
• $\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}$

On a $\vec{v}=\frac{d}{dt}(\rho {\vec{e}}_{\rho }+z{\vec{e}}_z)$, qu’on peut donc calculer, en réutilisant en partie ce que nous avions fait pour les coordonnées polaires.

$$\vec{v}=\dot{\rho }{\vec{e}}_{\rho }+\rho {\dot{\vec{e}}}_{\rho }+\dot{z}{\vec{e}}_z+\underset{=0}{\underbrace{z{\dot{\vec{e}}}_z}}=\dot{\rho }{\vec{e}}_{\rho }+\rho {\dot{\vec{e}}}_{\rho }+\dot{z}{\vec{e}}_z$$

Pour l’accélération, même démarche $\vec{a}=\frac{d}{dt}(\vec{v})=\frac{d}{dt}(\dot{\rho }{\vec{e}}_{\rho }+\rho {\dot{\vec{e}}}_{\rho }+\dot{z}{\vec{e}}_z)$

$$\vec{a}=\underset{\text{acceˊleˊration en polaires}}{\underbrace{(\ddot{\rho }-\rho {\dot{\varphi }}^2){\vec{e}}_{\rho }+(2\dot{\rho }\dot{\varphi }+\rho \ddot{\varphi }){\vec{e}}_{\varphi }}}+\ddot{z}{\vec{e}}_z$$

Conclusion

$$\begin{array}{l}\vec{r}=\rho {\vec{e}}_{\rho }+z{\vec{e}}_z\\ \vec{v}=\dot{\rho }{\vec{e}}_{\rho }+\rho \dot{\varphi }{\vec{e}}_{\varphi }+\dot{z}{\vec{e}}_z\\ \vec{a}=(\ddot{\rho }-\rho {\dot{\varphi }}^2){\vec{e}}_{\rho }+(2\dot{\rho }\dot{\varphi }+\rho \ddot{\varphi }){\vec{e}}_{\varphi }+\ddot{z}{\vec{e}}_z\end{array}$$

01.7 Coordonnées sphériques