01.5 Coordonnées curvilignes

C’est aussi un système aussi en 2 dimensions.

Repère de Frenet

On peut imagine une voiture qui conduit sur une route -> la route est la trajectoire curviligne que nous allons utiliser.

On a $s(t)$ l‘“absysse curviligne” : ou la longueur parcourue sur la trajectoire jusqu’à l’instant $t$.

On a la vitesse scalaire $v=\frac{ds}{dt}=\dot{s}(t)=|\vec{v}|$

On introduit le vecteur $\vec{\tau }$ unitaire, tangent à la trajectoire dans la direction de $\vec{v}$, ce qui nous permet d’exprimer $\vec{v}=v\vec{\tau }=\frac{ds}{dt}\vec{\tau }=\dot{s}\vec{\tau }$. On voit que ce n’est pas un vecteur constant.

Mouvement circulaire

En exprimant ces coordonnées selon les coordonnées polaires, on trouve

• $s(t)=R\varphi (t)$
• $\rho =R=cte$
• $\vec{\tau }={\vec{e}}_{\varphi }$
• $\vec{n}=-{\vec{e}}_{\rho }$

Pour trouver $\dot{\varphi }$, on voit que $s=R\varphi ⟹\varphi =\frac{s}{R}⟹\dot{\varphi }=\frac{\dot{s}}{R}=\frac{v}{R}$

Ainsi on trouve $\ddot{\varphi }=\frac{dv}{dt}\frac{1}{R}$

On peut donc trouver par les formules en 01.4 les relations

• $v(t)=R\dot{\varphi }(t)=R\omega$
• $\vec{a}(t)=\frac{dv}{dt}\vec{\tau }+\frac{v^2}{R}\vec{n}$

On peut donc imaginer un cercle tangent à la trajectoire à un instant $t$ pour analyser vite fait une trajectoire curviligne

01.6 Coordonnées cylindriques