01.4 Coordonnées polaires

Ce système est à deux dimensions, ce qui facilite beaucoup les dessins.

On a deux variables,

• l’angle $\varphi$ entre l’axe $x$ et la cordoonée du point $P$
• la distance de l’origine $\rho$

Il est facile de faire la traduction en coordonnées cartésiennes.

$$P|\begin{array}{c}x=\rho \cos \varphi \\ y=\rho \sin \varphi \end{array}$$

On a aussi des intervalles pour les deux variables .

• $\varphi \in [0,2\pi [$
• $\rho \in [0,\infty [$

Les vecteurs de bases $e_{\varphi }$ et $e_{\rho }$ sont trouvés similairement aux vecteurs de base cartésiens. On voit que le vecteur $e_{\rho }$ s’éloigne de l’origine, et que le vecteur de base $e_{\varphi }$ trace une ligne sur le cercle, en étant tangent à $e_{\rho }$.

Ce ne sont pas des vecteurs constants ! Ils changent de direction selon la position de la position $P$

Pour les obtenir en fonction de $\rho ,\varphi$ d’un point donné $P$, on fait

$${\vec{e}}_{\rho }=\cos \varphi {\vec{e}}_x+\sin \varphi {\vec{e}}_y{\vec{e}}_{\varphi }=-\sin \varphi {\vec{e}}_x+\cos \varphi {\vec{e}}_y$$

Pour ${\dot{\vec{e}}}_{\rho }$ on trouve

$${\dot{\vec{e}}}_{\rho }=\dot{\varphi }(-\sin \varphi {\vec{e}}_x+\cos \varphi {\vec{e}}_y)$$

Conclusion

On voit que le terme à l’intérieur des parenthèses est égal au vecteur de base ${\vec{e}}_{\varphi }$. On a donc

$${\dot{\vec{e}}}_{\rho }=\dot{\varphi }{\vec{e}}_{\varphi }$$

Pour $\dot{{\vec{e}}_{\varphi }}$ on trouve

$${\dot{\vec{e}}}_{\varphi }=-\dot{\varphi }(\cos \varphi {\vec{e}}_x+\sin \varphi {\vec{e}}_y)$$

Conclusion

On voit que le terme à l’intérieur des parenthèses est égal au vecteur de base ${\vec{e}}_{\rho }$. On a donc

$${\dot{\vec{e}}}_{\varphi }=-\dot{\varphi }{\vec{e}}_{\rho }$$

Vu que nous allons faire pas mal de cinématique, exprimons $\vec{v}$ et $\vec{r}$ avec les coordonnées polaires

• $\vec{r}=\rho {\vec{e}}_{\rho }$
• $\vec{v}=\dot{\vec{r}}=\frac{d}{dt}(\rho {\vec{e}}_{\rho })$
• $\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}$

Vu que ${\vec{e}}_{\rho }$ n’est pas constant, on doit donc également le dériver pour trouver la vitesse
On a donc

$$\vec{v}=\dot{\rho }{\vec{e}}_{\rho }+\rho {\dot{\vec{e}}}_{\rho }=\dot{\rho }{\vec{e}}_{\rho }+\rho \dot{\varphi }{\vec{e}}_{\varphi }$$

Pour trouver $\vec{a}$, on a une démarche similaire.

$$\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\rho }{\vec{e}}_{\rho }+\dot{\rho }{\dot{\vec{e}}}_{\varphi }+\dot{\rho }\dot{\varphi }{\vec{e}}_{\varphi }+\rho \ddot{\varphi }{\vec{e}}_{\varphi }+\rho \dot{\varphi }{\dot{\vec{e}}}_{\varphi }$$ $$\vec{a}=(\ddot{\rho }-\rho {\dot{\varphi }}^2){\vec{e}}_{\rho }+(2\dot{\rho }\dot{\varphi }+\rho \ddot{\varphi }){\vec{e}}_{\varphi }$$

En résumé

$$\begin{array}{l}\vec{r}=\rho {\vec{e}}_{\rho }\\ \vec{v}=\dot{\rho }{\vec{e}}_{\rho }+\rho \dot{\varphi }{\vec{e}}_{\varphi }\\ \vec{a}=(\ddot{\rho }-\rho {\dot{\varphi }}^2){\vec{e}}_{\rho }+(2\dot{\rho }\dot{\varphi }+\rho \ddot{\varphi }){\vec{e}}_{\varphi }\end{array}$$

Utilité

Dans un mouvement circulaire, ce type de coordonnées facilite grandement la tache d’analyse du système !

01.5 Coordonnées curvilignes