05.1 Applications linéaires d'espaces vectoriels

Définition -- Application linéaire

Soient $V,W$ des $\mathbb{R}$-espaces vectoriels. On dit que $T:V\to W$ est une application linéaire si pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, et tout $u,v\in V$ on a

$$T(\lambda u+v)=\lambda T(u)+T(v)$$

Propriétés

• $T(0_V)=0_W$
• $T(-v)=-T(v),\forall v\in V$

Proposition

On suppose que $\dim V\in \mathbb{R}$ et que $\mathcal{B}(v_1,\dots ,v_n)$ désigne une base ordonnée de $V$.

Alors $T$ est déterminée par les images $\{T(v_1),\dots ,T(v_n)\}$

05.3 Exemples — espaces de fonctions