05.3 Exemples -- espaces de fonctions

Définition -- Dérivée

On définit l’application $D:V\to V$, $V$ étant l’espace des fonction dont la dérivée existe, alors on a

$$D(f)=f^{\prime },\forall f\in V$$

Proposition

$D$ est linéaire

Définition -- Intégrales

Soient $a,b\in \mathbb{R}$, tels que $a<b$ et $V$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel de fonctions continues sur $\mathbb{R}$.
On définit l’application $I:V\to \mathbb{R}$ par

$$I(f)={\int }_a^{b}f(x)dx,\forall f\in V$$

Proposition

$I$ est linéaire

Définition -- Évaluation

On définit pour un nombre réel $\gamma \in \mathbb{R}$ l’évaluation en $\gamma$ est l’application ${\mathbf{ev}}_{\gamma }:\mathbb{P}(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$

$${\mathbf{ev}}_{\gamma }(p(x))=p(\gamma ),\forall p(x)\in \mathbb{P}(\mathbb{R})$$

Proposition

${\mathbf{ev}}_{\gamma }$ est linéaire

05.4 D’autres exemples, généralités