03.5 Combinaisons linéaires, sous-espaces engendrés par une famille de vecteurs

Définition -- Combinaison linéaire

Pour un espace vectoriel $V$ et ses vecteurs $v_1,\dots ,v_t\in V$, on a la combinaison linéaire de $v_1,\dots ,v_t$ un vecteur donné par

$${\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\cdots +{\lambda }_t{v}_t$$

Avec ${\lambda }_i\in \mathbb{R}$

Définition -- L'ensemble des combinaisons linéaires

Pour pour $S\subset V$, avec $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel, on écrit $\text{Vect}(S)$ pour noter l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs $S$ :

$$\text{Text}(S)=\{{\lambda }_1{v}_1+\cdots +{\lambda }_t{v}_t\mid {\lambda }_i\in \mathbb{R}\}$$

Remarque

D’autres notations sont équivalentes, par exemple on peut écrire $\text{span}(S)$ ou $\text{lin}(S)$

Proposition

On a $\text{Vect}(S)$ qui est un sous-espace vectoriel de $V$.
On le note le sous-espace engendré par $S$

Proposition

Par convention, on note $\text{Vect}(\varnothing )=\{0\}$

03.6 La somme de sous-espaces vectoriels