05.2 Sous-suites

Définition -- sous-suite

Une sous-suite d’une suite $(a_n)$ est une suite $k\to a_{n_k}$ où $k\to n_k$ est une suite strictement croissante de nombres $\in \mathbb{N}$

Proposition

Si $(a_n)$ converge vers $\ell$, alors toute sous-suite $a_{n_k}$ converge également vers $\ell$

Théorème de Bolzano-Weierstrass

Dans toute suite bornée, il existe une sous-suite convergente

$$\exists m,M\text{ tq }m\le a_n\le M⟹\exists (a_{n_k})\subset (a_n)\text{ tq }\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_{n_k}=\ell$$

05.3 Suites de Cauchy