05.1 Le nombre e

Proposition

Soit $(x_n):x_0=1,x_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ et $(y_n)=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n!}$, alors

1. $x_n\le y_n$
2. $y_n\le 3$
3. Les deux suites sont croissantes

Définition -- le nombre e

On définit ${\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\equiv e$

Remarque

On a également ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=e$

05.2 Sous-suites