04.2 Relation d'ordre

Proposition

Pour deux suites convergentes telles que ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a$ et ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=b$, et qu’il existe $m_0\in \mathbb{N}$, tel que $\forall n\ge m_0$ on a $a_n\ge b_n$
Alors

$$a\ge b$$

Théorème des deux gendarmes

Pour trois suites $(a_n),(b_n),(c_n)$, tq

1. ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\lim }_{n\to \infty }{c}_n=l$
2. Il existe $k\in \mathbb{N},\forall n\ge k$ avec $a_n\le b_n\le c_n$

Alors

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=l$$

Proposition -- Limite de Racine

Soit $a_0=1$ et $a_n=\sqrt[n]{a}$ quand $n\ge 1$, pour $a>0$
Alors on a

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=1$$

Définition -- Suite géométrique

On a une suite de la forme $a_n=a_0{r}^n$ avec $a_0\in {\mathbb{R}}^{\ast },r\in \mathbb{R}$, alors

$$\{\begin{array}{ll}{\lim }_{n\to \infty }{a}_0{r}^n=0& |r|<1\\ {\lim }_{n\to \infty }{a}_0{r}^n=a_0& r=1\\ {\lim }_{n\to \infty }{a}_0{r}^n\text{ diverge }& |r|>1\text{ ou }r=-1\end{array}$$

Remarques

1. Si ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=\ell$, alors ${\lim }_{n\to \infty }|x_n|=|\ell |$
2. Si ${\lim }_{n\to \infty }|x_n|=0$, alors ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=0$
3. ${\lim }_{n\to \infty }|x_n|=\ell \ne 0$ n’implique pas que $(x_n)$ converge
4. Si $(a_n)$ est bornée et ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=0$, alors ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n{b}_n=0$

Théorème -- Critère d'Alembert

Soit $(a_n)$ une suite telle que $a_n\ne 0,\forall n\in \mathbb{N}$ et

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho ,\rho \ge 0$$

Alors

• si $\rho <1$ ==> ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$
• si $\rho >1$ ==> ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n\text{ diverge}$
• si $\rho =1$ ==> On ne peut rien conclure

04.3 Limites infinies