04.3 Limites infinies

Définition -- Limite de suite vers infini positif

On dit que $(a_{n})$ tend vers $+ \infty$ si
$\forall A > 0, \exists n_{0} \in N$ tel que $\forall n \geq n_{0}$ , alors $a_{n} \geq A$

On note
$n \to \infty lim a_{n} = + \infty$

Définition -- Limite de suite vers infini négatif

On dit que $(a_{n})$ tend vers $- \infty$ si
$\forall A > 0, \exists n_{0} \in N$ tel que $\forall n \geq n_{0}$ , alors $a_{n} \leq - A$

On note
$n \to \infty lim a_{n} = - \infty$

Ce sont des suites divergentes !

Propriétés des limites infinies

Si on a $lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty = lim_{n \to \infty} b_{n}$

$n \to \infty lim (a_{n} + b_{n}) = \infty$

Pour $lim_{n \to \infty} a_{n} = \pm \infty$ et on a $(b_{n})$

$n \to \infty lim (a_{n} \pm b_{n}) = \pm \infty$

Si $lim_{n \to \infty} b_{n} = \infty$ et $a_{n} \geq b_{n}$ , alors

$n \to \infty lim a_{n} = \infty$

Si $lim_{n \to \infty} b_{n} = - \infty$ et $a_{n} \leq b_{n}$ , alors

$n \to \infty lim a_{n} = - \infty$

Si $(a_{n})$ est bornée et $lim_{n \to \infty} b_{n} \pm \infty$ , alors

$n \to \infty lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = 0$

Si $lim_{n \to \infty} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \infty$ et $a_{n} \neq = 0, \forall n$ . Alors $(a_{n})$ diverge

On a des formes qui sont indéterminées et varient selon les cas

$\infty - \infty$
$0 \cdot \infty$
$\frac{\infty}{\infty}$
$\frac{0}{0}$
$1^{\infty}$
$0^{0}$
$\infty^{0}$

Remarque

$(cos n)$ et $(sin n)$ sont des suites divergentes

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04.3 Limites infinies

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