04.11 Extrema liés. Méthode des multiplicateurs de Lagrange

Théorème

Soient les fonctions $f,g:E\subset {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ de classe $C^1$. On suppose que $f(x,y)$ admet un extremum en $(a,b)\in E$ sous la contrainte $g(x,y)=0$

$$\min ,\max \{f(x,y)\in E\text{et}g(x,y)=0\}$$

et que $\nabla g(x,y)\ne \vec{0}$ sur la contrainte.

Alors il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ (le multiplicateur de Lagrange) t.q. :

$$\nabla f(a,b)=\lambda \nabla g(a,b)\text{et}g(a,b)=0$$

Démonstration à l’ exam

Démonstration

On suppose que $\frac{\delta g}{\delta y}(a,b)\ne 0$. Puisque $g(a,b)=0$, par le théorème des fonctions implicites, on sait qu’il existe une fonction $y=h(x)$ de classe $C^1$ au voisinage de $x=a$, tel que:

$$h^{\prime }(x)=-\frac{\frac{\delta g}{\delta x}(x,h(x))}{\frac{\delta g}{\delta y}(x,h(x))}\text{et}g(x,h(x))=0$$

Si on remplace $y$ par $h(x)$, on définit une fonction d’une seule variable $S(x)=f(x,h(x))$, qui est une fonction composée.
Si $(a,b)$ est un extremum local sous contrainte, alors $a$ est un extremum local de $S$, donc $S^{\prime }(a)=0$.
On calcule la dérivée par la formule de la matrice jacobienne d’une fonction composée:

$$S^{\prime }(x)=\nabla f(x,y){\mid }_{y=h(x)}\cdot J_{(x,h(x){)}^T}=\frac{\delta f}{\delta x}(x,h(x))+\frac{\delta f}{\delta y}(x,h(x))\cdot h^{\prime }(x)$$

Si $(a,b)$ est un point d’extremum local de $f$, alors:

$$S^{\prime }(a)=0$$

On pose

$$v_1=\frac{\delta f}{\delta x}(a,b),v_2=\delta f(\delta y)(a,b),u_1=\frac{\delta g}{\delta x}(a,b),u_2=\frac{\delta f}{\delta y}(a,b)$$

Et on a donc

$$v_1=v_2\frac{u_1}{u_2}$$

1. Si $u_1=0$, alors $v_1=0$, et on a donc que $\nabla f(a,b)=(0,v_2)$ et $\nabla g(a,b)=(0,u_2)$, et donc il existe un $\lambda =\frac{v_2}{u_2}$ tq $\nabla f=(0,v_2)=(0,v_2\cdot \frac{u_2}{u_2})=(0,\lambda \cdot u_2)=\lambda (0,u_2)=\lambda \nabla g$
2. Si $u_1{\ne }_0$, alors $v_1=v_2\frac{u_1}{u_2}⟺\frac{v_1}{u_1}=\frac{v_2}{u_2}:=\lambda$, et donc que $\nabla f=\lambda \nabla g$
   Dans les deux cas le théorème reste vrai. CQFD

Théorème

Soient $f,g_1,\dots ,g_m:E\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ des fonctions de classe $C^1$ avec $m\le n-1$

Soit $\bar{a}\in E$ un extremum de $f$ sous les contraintes $g_1(\bar{x})=\cdots =g_m(\bar{x})=0$

Supposons que les gradients $\{\nabla g_1(\bar{a}),\dots ,\nabla g_m(\bar{a})\}$ soient linéairement indépendants

Alors il existe $\bar{\lambda }=({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m)\in {\mathbb{R}}^m$ tq :

$$\nabla f(\bar{a})=\sum _{k=1}^m{\lambda }_k\nabla g_k(\bar{a})$$

Remarque

Pour trouver des candidats d’extremums locaux sous contrainte $g(x,y)=0$, il faut résoudre le système

$$\{\begin{array}{ll}\nabla f(x,y)& =\lambda g(x,y)\\ g(x,y)& =0\end{array}$$