04.6 Application des matrices jacobiennes

Dérivée d’une fonction composée

Th

Soient $\bar{g}$ et $\bar{f}$
Si $\bar{g}$ est dérivable en $\bar{a}$ et que $\bar{f}$ est dérivable en $\bar{b}=\bar{g}(\bar{a})$, alors on a $\bar{f}\circ \bar{g}$ est dérivable en $\bar{a}$ et on a

1. $L_{\bar{a}}(\bar{f}\circ \bar{g})=L_{\bar{b}}\bar{f}\circ L_{\bar{a}}\bar{g}$
2. ${\mathcal{J}}_{\bar{f}\circ \bar{g}}(\bar{a})={\mathcal{J}}_{\bar{f}}(\bar{g}(\bar{a}))\cdot {\mathcal{J}}_{\bar{g}}(\bar{a})$
3. Si $n=p=q$ (=> les deux fonctions gardent la même dimension $n$), alors $|{\mathcal{J}}_{\bar{f}\circ \bar{g}}(\bar{a})|=|{\mathcal{J}}_{\bar{f}}(\bar{g}(\bar{a}))|\cdot |{\mathcal{J}}_{\bar{g}}(\bar{a})|$

On peut utiliser ceci pour faire une changement de variable :
Eg $\bar{h}$ est une changement de variable et $\bar{g}$ sa réciproque

$$\bar{g}\circ \bar{h}(x_1,\dots ,x_n)=(x_1,\dots ,x_n)$$ $$⟹{\mathcal{J}}_{\bar{g}\circ \bar{h}}(\bar{x})=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right)={\text{Id}}_n$$

La matrice identité de taille $n\times n$

Proposition

Soit $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ de classe $C^2$. Soit $\tilde{f}=f\circ g(r,\phi )$
On a le gradient $\nabla f(x,y)$ est donné par

$$\nabla f(x,y)=\left(\cos \frac{\phi \delta \tilde{f}}{\delta r}-\frac{1}{r}\sin \frac{\phi \delta \tilde{f}}{\delta \phi },\sin \frac{\phi \delta \tilde{f}}{\delta r}+\frac{\cos \phi }{r}\frac{\delta \tilde{f}}{\delta \phi }\right)$$

04.7 Dérivée d’une intégrale dépendant d’un paramètre