05.2 Théorème de Fubini sur un pavé fermé

Théorème

Soit $f:P\to \mathbb{R}$ continue sur le pavé $P=[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]$

$${\int }_{P}f(\bar{x})d\bar{x}{\int }_{a_n}^{b_n}\left(\dots \left({\int }_{a_1}^{b_1}f(x_1,\dots ,x_n)d{x}_1\right)\dots \right)d{x}_n$$

L’ordre d’intégration sur un pavé fermé peut être interchangé

Théorème de Fubini

Pour $n=2$, si $f:P=[a,b]\times [c,d]\to \mathbb{R}$ est une fonction continue, alors

$${\iint }_{P}f(x,y)dxdy={\int }_c^d\left({\int }_a^{b}f(x,y)dx\right)dy={\int }_a^b\left({\int }_c^{d}f(x,y)dy\right)dx$$

Si on a que $f(x,y)=f_1(x)f_2(y)$ alors :

$${\iint }_P{f}_1(x)f_2(y)dxdy=\left({\int }_a^b{f}_1(x)dx\right)\cdot \left({\int }_c^d{f}_2(y)dy\right)$$

05.3 Intégrale sur un domaine borné