05.1 Intégrale sur un pavé fermé

Pavé fermé

Définition

Un pavé fermé est un sous-ensemble de ${\mathbb{R}}^n$ qui est le produit cartésien de $n$ intervalles fermés bornés

$$P=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times \cdots \times [a_n,b_n]$$

Le pavé ouvert associé est défini par les intervalles $]a_i,b_i[$

Définition

Le volume d’un pavé fermé est défini par

$$|P|=(b_1-a_1)(b_2-a_2)\dots (b_n-a_n)$$

Définition

On a ${\sigma }_j$ une subdivision de $[a_j,b_j]$ définie par

$${\sigma }_j=\{a_j=x_0^j<x_1^j<\cdots <x_{n_j}^j=b_j\}$$

On note $\sigma =({\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n)$ la subdivision de $P$, le pavé fermé

Sommes de Darboux

Soit $f:P\to \mathbb{R}$ une fonction bornée sur un pavé fermé $P$

Définition

Pour $\sigma$ une subdivision de $P$, on a

1. $\underline{S_{\sigma }}(f)={\sum }_{Q\in D(\sigma )}m(Q)|Q|$, avec $m(Q)={\inf }_{\bar{x}\in Q}f(\bar{x})$
2. $\overline{S_{\sigma }}(f)={\sum }_{Q\in D(\sigma )}M(Q)|Q|$, avec $M(Q)={\sup }_{\bar{x}\in Q}f(\bar{x})$

On a donc les sommes de Darboux:

• Inférieure ⇒ $\underline{S}(f)={\sup }_{\sigma }\{\underline{S_{\sigma }}(f)\}$
• Supérieure ⇒ $\overline{S}(f)={\inf }_{\sigma }\{\overline{S_{\sigma }}(f)\}$

Intégrabilité

Définition

Soit $P\in {\mathbb{R}}^n$ un pavé fermé et $f:P\to \mathbb{R}$ une fonction bornée. Alors $f$ est intégrable sur $P$ ⇐>

$$\underline{S}(f)=\overline{S}(f)$$

L’intégrale est notée

$${\int }_{P}f(\bar{x})d\bar{x}=\int \cdots {\int }_{P}f(x_1,\dots ,x_n)d{x}_1\dots d{x}_n=\underline{S}(f)=\overline{S}(f)$$

Si on a que $f(\bar{x})=1$, alors

1. ${\int }_a^{b}1dx=b-a$
2. ${\iint }_{P}1dxdy=(b_1-a_1)(b_2-a_2)$
3. ${\iiint }_{P}1dxdydz=(b_1-a_1)(b_2-a_2)(b_3-a_3)$
4. $\int \cdots {\int }_{P}1d{x}_1\dots d{x}_n=|P|$

Théorème

Toute fonction continue sur un pavé fermé $P$ est intégrable sur $P$

Propriétés

1. Additivité ⇒ Sur des pavés fermés disjoints, on peut additionner les intégrales pour toute fonction continue sur l’ensemble de ces pavés. ⇒ $P={\bigcup }_{i\in I}{P}_i$, alors

$${\int }_{P}f(\bar{x})dx=\sum _{i\in I}{\int }_{P_i}f(\bar{x})dx$$

2. Linéarité ⇒ Sur un pavé fermé avec deux fonctions continues $f,g$, alors on a

$${\int }_P(\alpha f+\beta g)d\bar{x}=\alpha {\int }_{P}fd\bar{x}+\beta {\int }_{P}gd\bar{x}$$

3. Relation d’ordre ⇒ Pour une fonction telle que $|f(\bar{x})|\le K$ sur $P$, on a

$$-K|P|\le {\int }_{P}f(\bar{x})d\bar{x}\le K|P|$$

Définition

Pour $f:P\in {\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^{+}$, on a l’intégrale double

$$V={\iint }_{P}f(x,y)dxdy$$

qui représente le volume du solide situé sous la surface $z=f(x,y)$ et au dessus de $z=0$

05.2 Théorème de Fubini sur un pavé fermé