04.9 Extrema d'une fonction de plusieurs variables

Définition

On a $\bar{a}$ un point stationnaire de $f$ si

$$\nabla f(\bar{a})=\left(\frac{\delta f}{\delta x_1}(\bar{a}),\dots ,\frac{\delta f}{\delta x_n}(\bar{a})\right)=\bar{0}$$

Définition

Une fonction $f$ admet un maximum (ou minimum) local au point $\bar{a}\in E$ s’il existe $\delta >0$ tq $\forall \bar{x}\in E\cap B(\bar{a},\delta )$ on a :

$$\begin{array}{c}f(\bar{x})\le f(\bar{a})\\ f(\bar{x})\ge f(\bar{a})\end{array}$$

Proposition

Soit $f:E\to \mathbb{R}$ une fonction admettant un extremum local au point $\bar{a}$, et telle que $\frac{\delta f}{\delta x_i}(\bar{a})$ existent pour tout $i$.

Définition

Un point stationnaire qui n’est pas un extremum est un point de selle

Définition

$\bar{a}$ est dit un point critique de $f$ si

• Soit c’est un point stationnaire
• Soit au moins une des dérivées partielles n’existent pas en $\bar{a}$

Théorème

Soit $f:E\to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^2$ sur $E$, et $\bar{a}$ un point stationnaire. Avec la matrice Hessienne de $\bar{a}$, on a

• Si toutes les valeurs propres sont positives ⇒ minimum local en $\bar{a}$
• Si toutes les valeurs propres sont négatives ⇒ maximum local en $\bar{a}$

Critère de Sylvester

Théorème

On définit les mineurs principaux dominants ${\Delta }_i$ par le déterminant d’une matrice Hessienne de taille $i\times i$

Minima et maxima sur un compact

Rappel: Minimum et maximum

Pour trouver ces extremas sur un domaine $D$

1. Trouver les points critiques de $f$ sur l’intérieur de $D$
2. Trouver les extremas de $f$ sur la frontière $\delta D$
3. Comparer toutes les valeurs obtenues pour en trouver le min et max absolu (global)

04.10 Théorème des fonctions implicites