04.8 Formule de Taylor

Théorème

Soit $f:E\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ de classe $C^{p+1}$ au voisinage de $\bar{a}\in E$. Alors il existe $\delta >0$ tel que $\forall \xi nnB(\bar{a},\delta )\cap E$, il existe $0<\theta <1$ tel que

$$f(\bar{x})=F(0)+F^{\prime }(0)+\frac{1}{2}{F}^{\prime \prime }(0)+\cdots +\frac{1}{p!}{F}^{(p)}(0)+\frac{1}{(p+1)!}{F}^{(p+1)}(\theta )$$

Avec $F:I\to \mathbb{R}$ avec $I\subset [0,1]$ est définie par $F(t)=f(\bar{a}+t(\bar{x}-\bar{a}))$

Laplacien

Définition

Le Laplacien d’une fonction $f:E\subset {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ de classe $C^2$, noté $\Delta f$ est défini par

$$\Delta f=\frac{{\delta }^{2}f}{\delta x_1^2}+\frac{{\delta }^{2}f}{\delta x_2^2}+\cdots +\frac{{\delta }^{2}f}{\delta x_n^2}=\sum _{i=1}^n\frac{{\delta }^{2}f}{\delta x_i^2}$$

Définition

Si le Laplacien $\delta f=0$, alors $f$ est dite harmonique

04.9 Extrema d’une fonction de plusieurs variables