04.7 Dérivée d'une intégrale dépendant d'un paramètre

Théorème

Soit $f:[a,b]\times I\to \mathbb{R}$, telle que $\frac{\delta f}{\delta y}$ est continue sur $[a,b]\times I$

Alors $g(y)={\int }_a^{b}f(x,y)dx$ est de classe $C^1$ sur $I$ et $g^{\prime }(y)=\frac{{\int }_a^b\delta f}{\delta y}(x,y)dx$

Rappel

En analyse I, nous avons vu que pour une fonction continue $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, nous avions

$$\begin{array}{lc}\frac{d}{dt}\left({\int }_a^{t}f(y)dy\right)=f(t),& \frac{d}{dt}\left({\int }_t^{b}f(y)dy\right)=\frac{d}{dt}\left(-{\int }_b^{t}f(y)dy\right)=-f(t)\end{array}$$

On en tire le théorème que

Théorème

Pour deux fonctions dérivables de classe $C^1$ $g,h:I\to \mathbb{R}$ et la fonction $f(x,t):I\times J\to \mathbb{R}$ telle que $\frac{\delta f}{\delta t}$ est continue sur $I$, Et soit $F(t)={\int }_{h(t)}^{g(t)}f(x,t)dx$ alors $F(t)$ est continûment dérivable sur $I$, et vaut

$$F^{\prime }(t)=f(g(t),t)\cdot g^{\prime }(t)-f(h(t),t)\cdot h^{\prime }(t)+{\int }_{h(t)}^{g(t)}\frac{\delta f}{\delta t}(x,t)dx$$

04.8 Formule de Taylor