04.2 Dérivées directionnelles

On a $E\subset {\mathbb{R}}^n$ ouvert, $\bar{a}\in E$ et un vecteur $\bar{v}\in {\mathbb{R}}^n\setminus \{\bar{0}\}$

La droite passant par $\bar{a}$ dans la direction $\bar{v}$ est donnée par $\bar{l}(t)=\bar{a}+t\bar{v}$

Soit la fonction $f:E\to \mathbb{R}$

Définition

On a la dérivée directionnelle de $f$ en $\bar{a}$ suivant $\bar{v}$

$$Df(\bar{a},\bar{v})=\frac{\delta f}{\delta \bar{v}}(\bar{a})=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{g(t)-g(0)}{t}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(\bar{a}+t\bar{v})-f(\bar{a})}{t}$$

Si $\bar{v}={\bar{e}}_i$, alors $Df(\bar{a},{\bar{e}}_i)=\frac{\delta f}{\delta x_i}(\bar{a})$

Si toutes les dérivées directionnelles existent en $\bar{a}$, alors toutes les dérivées partielles existent en $\bar{a}$ (pas réciproque)

Cette définition est linéaire $Df(\bar{a},\lambda \bar{v})=\lambda Df(\bar{a},\bar{v})$ (tant que $\lambda \ne 0$)

⇒ Il est donc plus simple de considérer les vecteurs unitaires $\lambda Df\left(\bar{a},\frac{1}{\lambda }\bar{v}\right),\frac{1}{\lambda }\Vert \bar{v}\Vert =1$

04.3 Dérivabilité et la différentielle