04.1 Dérivées partielles

Définition

Soit $f:E\to \mathbb{R}$ une fonction et $E\subset {\mathbb{R}}^n$ un sous-ensemble ouvert On a le point $\bar{a}=(a_1,a_2,\dots ,a_n)\in E$

La fonction d’une seule variable $g(s)=f(a_1,a_2,\dots ,s,\dots ,a_n)$ sur le domaine $\{s\in \mathbb{R}:(a_1,a_2,\dots ,s,\dots ,a_n)\in E\}$

Si $g$ est dérivable en $a_k$, alors on dit que la $k$-ième dérivée partielle de $f$ en $\bar{a}$ existe et

$$\frac{\delta f}{\delta x_k}=D_{k}f(\bar{a})=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{g(a_k+t)-g(a_k)}{t}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(\bar{a}+t{\bar{e}}_k)-f(\bar{a})}{t}$$

En gros on traite une variable du point comme une constante, pour dériver plus facilement

Définition

Si toutes les dérivées partielles existent en $\bar{a}\in E$, alors on a le gradient de $f$ en $\bar{a}$ donné par

$$\nabla f(\bar{a})=\left(\frac{\delta f}{\delta x_1}(\bar{a}),\dots ,\frac{\delta f}{\delta x_n}(\bar{a})\right)$$

Définition

L’application $\bar{F}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ s’appelle un champ vectoriel

Le gradient définit un champ vectoriel $\nabla f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$

04.2 Dérivées directionnelles