02.4 Suites d'éléments de Rn et sa topologie

Définition

On a une suite d’éléments de ${\mathbb{R}}^n$ est une application $f:\mathbb{N}\to {\mathbb{R}}^n$ telle que

$$f:k\to {\bar{x}}_k=(x_{1,k},x_{2,k},\dots ,x_{n,k})\in {\mathbb{R}}^n$$

On note cette suite par $\{{\bar{x}}_k{\}}_{k=0}^{\infty }$

Définition

Une suite $\{{\bar{x}}_k{\}}_{k=0}^{\infty }$ est convergente et admet pour limite $\bar{x}\in {\mathbb{R}}^n$ si pour tout $ϵ>0$ il existe $k_0\in \mathbb{N}$ tel que pour tout $k>k_0,\Vert {\bar{x}}_k-\bar{x}\Vert \le ϵ$

C’est équivalent à ${\bar{x}}_k\in \overline{B(\bar{x},ϵ)}$ pour tout $k>k_0$

On note ${\lim }_{k\to \infty }{\bar{x}}_k=\bar{x}$

Théorème

$P$ : Un sous-ensemble non-vide $E\subset {\mathbb{R}}^n$ est fermé iff $Q$ : toute suite $\{\bar{x}\}\subset E$ qui converge vers $\bar{x}\in {\mathbb{R}}^n$ a sa limite $\bar{x}\in E$

A retenir pour exam ! Par l'absurde ($P⟹Q$) Supposons que $E$ est fermé. Soit $\bar{x}={\lim }_{k\to \infty }{\bar{x}}_k$ avec ${\bar{x}}_k\in E$ Supposons que $\bar{x}\notin E$

Alors $\bar{x}\in \complement E$ (qui est ouvert). Il existe donc un $\delta >0$ tel que $B(\bar{x},\delta )\subset \complement E$

Ceci implique que $\{{\bar{x}}_k\}\cap B(\bar{x},\delta )=\varnothing$ → donc ${\bar{x}}_k$ ne peut converger vers $\bar{x}$ Notamment, il existe $k_0\in \mathbb{N}$ tel que $\forall k\ge k_0$ on a ${\bar{x}}_k\in \overline{B(\bar{x},\delta /2)}\subset B(\bar{x},\delta )$ Ainsi on a $\bar{x}\in E$

Par contraposée ($Q⟹P$) On suppose que $E$ n’est pas fermé Alors $\complement E$ n’est pas ouvert Il existe donc $\bar{y}\in \complement E$ tel que $\forall k\in {\mathbb{N}}^{\ast },B(\bar{y},1/k)\cap E=\varnothing$ On construit ainsi une suite ${\bar{y}}_k\subset E$ tq ${\bar{y}}_k\in B(\bar{y},1/k)$. Alors ${\lim }_{k\to \infty }{\bar{y}}_k=\bar{y}$ Mais on a que $\bar{y}\notin E$, donc $Q$ n’est pas remplie, donc $Q⟹P$

Définition

Un sous-ensemble non-vide de ${\mathbb{R}}^n$ est compact s’il est fermé ET borné

Théorème

Un sous-ensemble non vide $E\subset {\mathbb{R}}^n$ est compact ⇐> de tout recouvrement de $E$ par des ouverts

$$E\subset \bigcup _{i\in I}{A}_i$$

On peut extraire un sous-recouvrement fini

$$\exists \{i_1,\dots ,i_m\}\subset I:E\subset \bigcup _{j=1}^m{A}_{i_j}$$