05.3 Roulement sans glisser

On a une roue qui roule, on se munit du repère cartésien $(O,x,y)$, et le rayon de la roue $R$.

À tout moment, le point de contact entre la roue et le sol à une vitesse nulle (car la roue ne glisse pas)

Quand la roue se déplace, le point de contact se décolle du sol, ce n'est plus le point de contact

On définit le référentiel ${\mathcal{R}}^{\prime }(A,x^{\prime },y^{\prime })$ avec $A$ le centre de la roue, qui se déplace à vitesse ${\vec{v}}_t$

Le point de contact $C$ a la vitesse, par définition

$${\vec{v}}_{\mathcal{R}}(C)=\vec{0}$$

Mais, avec le mouvement de translation on trouve

$${\vec{v}}_{\mathcal{R}}(C)={\vec{v}}_{\mathcal{R}}(A)+{\vec{v}}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}(C)$$

et vu que $v_{\mathcal{R}}(C)=0$, on a ${\vec{v}}_{\mathcal{R}}(A)={\vec{v}}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}(C)$ :

$${\vec{v}}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}(C)=-{\vec{v}}_t$$

Vu que la roue tourne avec la vitesse angulaire de $\omega$, on trouve

$$v_t=R\omega$$

On a le point $B$ le point sur la roue opposé à $C$, on trouve

$${\vec{v}}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}(B)={\vec{v}}_t$$

et donc on trouve pour le référentiel original

$${\vec{v}}_{\mathcal{R}}(B)={\vec{v}}_{\mathcal{R}}(A)+{\vec{v}}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}(B)=2{\vec{v}}_t$$

05.4 Frottements fluides