02.3 Cas particuliers des référentiels accélérés

Translation

Pour un référentiel ${\mathcal{R}}^{\prime }$ qui a un mouvement rectiligne uniforme dans $\mathcal{R}$, et qui n’a pas de rotation, on peut simplifier les équations trouvées dans la partie précédente.

On a donc les contraintes

$$\begin{array}{l}{\vec{v}}_{\mathcal{R}}(A)=\overrightarrow{cste}\\ {\vec{a}}_{\mathcal{R}}(A)=\vec{0}\\ \vec{\omega }=\dot{\vec{\omega }}=\vec{0}\end{array}$$

Donc avec les équations trouvées précédemment on a

$$\begin{array}{l}{\vec{v}}_{\mathcal{R}}(P)={\vec{v}}_{\mathcal{R}}(A)+{\vec{v}}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}(P)\\ {\vec{a}}_{\mathcal{R}}(P)={\vec{a}}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}(P)\end{array}$$

On peut vérifier cela par intuition car si il n’y a pas de rotation, alors les composantes reliées à $\vec{\omega }$ sont sorties du calcul, on trouve juste une composition de la vitesse du référentiel et du point dans le référentiel

Rotation et P fixe

Pour un référentiel ${\mathcal{R}}^{\prime }$ qui ne fait que de tourner avec une vitesse de rotation constante, et qui ne bouge pas, et un point $P$ immobile, on peut également simplifier nos équations fondamentales.

On a donc les contraintes

$$\begin{array}{l}{\vec{v}}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}(P)={\vec{a}}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}(P)=\vec{0}\\ {\vec{v}}_{\mathcal{R}}(A)={\vec{a}}_{\mathcal{R}}(A)=\vec{0}\\ \vec{\omega }=\overrightarrow{cste}\\ \dot{\vec{\omega }}=\vec{0}\end{array}$$

On obtient donc que

$$\begin{array}{l}{\vec{v}}_{\mathcal{R}}(P)=\vec{\omega }\wedge \overrightarrow{OP}\\ {\vec{a}}_{\mathcal{R}}(P)=\vec{\omega }\wedge (\vec{\omega }\wedge \overrightarrow{OP})\end{array}$$

Rotation et P libre

On retrouve la rotation uniforme de ${\mathcal{R}}^{\prime }$, mais cette fois si on peut moins simplifier car $P$ bouge librement dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$

On a donc les contraintes

$$\begin{array}{l}{\vec{v}}_{\mathcal{R}}(A)={\vec{a}}_{\mathcal{R}}(A)=\vec{0}\\ \vec{\omega }=\overrightarrow{cste}\\ \dot{\vec{\omega }}=\vec{0}\end{array}$$

Ayant donc moins de contraintes, il y a moins de simplifications

$$\begin{array}{l}{\vec{v}}_{\mathcal{R}}(P)={\vec{v}}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}(P)+\vec{\omega }\wedge \overrightarrow{OP}\\ {\vec{a}}_{\mathcal{R}}(P)={\vec{a}}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}(P)+\vec{\omega }\wedge (\vec{\omega }\wedge \overrightarrow{OP})+2\vec{\omega }\wedge {\vec{v}}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}(P)\end{array}$$

Les termes de l’accélération ont des noms qui nous permettent d’identifier à quoi ils correspondent

$${\vec{a}}_{\mathcal{R}}(P)=\underset{\text{acceˊleˊration relative}}{\underbrace{{\vec{a}}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}(P)}}+\underset{\text{acceˊleˊration centripeˋte}}{\underbrace{{\vec{a}}_{\mathcal{R}}(A)+\dot{\vec{\omega }}\wedge \overrightarrow{AP}+\vec{\omega }\wedge (\vec{\omega }\wedge \overrightarrow{AP})}}+\underset{\text{acceˊleˊration de Coriolis}}{\underbrace{2\vec{\omega }\wedge {\vec{v}}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}(P)}}$$

• L’accélération relative : L’accélération de $P$ dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$
• L’accélération centripète : L’accélération vers le centre de la rotation