05.4 D'autres exemples, généralités

Lemme

Soient $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel admettant une base $\mathcal{B}=(v_1,\dots ,v_n)$ et $W$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel ayant les vecteurs $w_1,\dots ,w_n$

On a donc l’application linéaire $T:V\to W$

$$T(a_1{v}_1+\cdots +a_n{v}_n)=a_1{w}_1+\cdots +a_n{w}_n,(\forall a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R})$$

Lemme

Soit $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel ayant pour base $\mathcal{B}=(v_1,\dots ,v_n)$.

On a l’application linéaire $T:V\to {\mathbb{R}}^n$ définie par

$$T(a_1{v}_1+\cdots +a_n{v}_n)=(a_1,\dots ,a_n),(\forall a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R})$$

Définition -- Matrice d'application

Soient $V$ et $W$ deux $\mathbb{R}$-espaces vectoriels, avec $\dim V=n,\dim W=m$, ayant les bases ${\mathcal{B}}_V,{\mathcal{B}}_W$.

On a aussi la matrice $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$

On définit l’application $T_A:V\to W$

$$[T_A(v){]}_{{\mathcal{B}}_W}=A[v{]}_{{\mathcal{B}}_V}$$

05.5 Le noyau d’une application linéaire