04.3 Bases et dimension

Définition -- Base

Pour $\mathcal{B}\subset V$, $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel, on dit que $\mathcal{B}$ est une base de $V$ si

1. Tout $v\in V$ est un combinaison des vecteurs de $\mathcal{B}$ ($\text{Vect}(\mathcal{B})=V$)
2. et le sous-ensemble $\mathcal{B}$ est linéairement indépendant

Définition -- Dimension

On dit d’un $\mathbb{R}$-espace vectoriel qu’il est de dimension finie s’il possède une base finie.

Sinon, on dit que cet espace vectoriel est de dimension infinie

Théorème -- Plusieurs bases

Si $V$ est de dimension finie, alors toutes les bases de $V$ sont finies et ont le même nombre d’éléments

04.4 Dimension