04.12 Comment trouver une base à partir d'un système générateur

Méthode pour trouver une base à partir d'un système de générateurs

Soient $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel avec $\dim V=n$ et a la base $\mathcal{B}=(v_1,\dots ,v_n)$. On a également $S\subset V$ une partie finie et $W=\text{Vect}(S)$. Pour trouver une base de $W$ et la compléter en base de $V$, on

1. $\forall v\in S$, on écrit $[v{]}_{\mathcal{B}}=({\alpha }_1{\alpha }_2\dots {\alpha }_n{)}^T$
2. On définit une matrice $A$ avec les lignes égales aux vecteurs $[v{]}_{\mathcal{B}}^T$
3. On échelonne la matrice $A$. Les lignes non-nulles forment une base de l’espace ligne. Les vecteurs de $W$ correspondants forment une base de $W$
4. On remplace les lignes nulles par des lignes non-nulles afin d’avoir $n$ pivots. Les vecteurs de $V$ associées aux lignes de cette nouvelle matrice forment une base de $V$