04.11 Coordonnées par rapport à une base

Définition

Soit $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $\dim V=n$, et $\mathcal{B}=(v_1,\dots ,v_n)$ une base de $V$, avec $v\in V$.

Comme $\mathcal{B}$ est une base de $V$, il existe des uniques scalaires ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in \mathbb{R}$ tels que $v={\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_n{v}_n$. On appelle ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ les coordonnées de $v$ par rapport à la base $\mathcal{B}$ et on écrit

$$[v{]}_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ ⋮\\ {\alpha }_n\end{array}\right)$$

Proposition

Soient $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel avec $\dim V=n$ et $\mathcal{B}=(v_1,\dots ,v_n)$ une base de $V$, alors

• $\forall v_1,v_2\in V$ on a $[v_1+v_2{]}_{\mathcal{B}}=[v_1{]}_{\mathcal{B}}+[v_2{]}_{\mathcal{B}}$
• $\forall v\in V$ et $\forall \lambda \in \mathbb{R}$, on a $[\lambda v{]}_{\mathcal{B}}=\lambda [v{]}_{\mathcal{B}}$

04.12 Comment trouver une base à partir d’un système générateur