03.3 D'autres exemples importants

Définition -- L'ensemble des fonctions polynomiales à coefficients réels

L’ensemble de fonctions polynomiales à coefficients réels de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est l’ensemble des fonctions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ telles que $f(x)=a_0+a_{1}x+a_{2}x+\cdots +a_n{x}^n$ pour $n\in \mathbb{N}$ et $a_i\in \mathbb{R}$

Proposition

Cet ensemble noté $\mathbb{P}(\mathbb{R})$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel

Définition

Pour $f\in \mathbb{P}(\mathbb{R})$, avec $a_n\ne 0$, alors l’entier $n$ est le degré de $f$.

Le degré du polynôme nul, par convention, est $-\infty$

On désigne ${\mathbb{P}}_n(\mathbb{R})$ par le sous-ensemble des polynômes de degrés $n$ ou moins — c’est aussi un $\mathbb{R}$-espace vectoriel

Notation

On note pour l’ensemble des fonctions $\{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\}$ la notation $\mathcal{F}(\mathbb{R})$

Proposition

C’est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel

Proposition

Si un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $V$ contient au moins deux éléments, alors il en contient une infinité

03.4 Sous-espaces vectoriels