02.03 Matrices carrées

Définition -- matrice carrée

Pour une matrice $A$, on dit qu’elle est carrée si elle a le même nombre de lignes que de colonnes, donc si elle est de taille $n\times n$ avec $n\in \mathbb{N}$.

Définition -- inversibilité

Une matrice carrée $A$ peut être inversible si il existe une matrice $B$, tel que $AB=I_n=BA$. On note $B=A^{-1}$

Définition -- Diagonale

Soit $A$ une matrice de taille $m\times n$ à coefficients réels. La diagonale principale de $A$ est la liste des coefficients $a_{ii}$

Définition -- Matrice triangulaire (supérieure)

Une matrice est dite triangulaire supérieure si $a_{ij}=0$ quand $i>j$

$$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& 0& 0& \dots & 0\\ a_{21}& a_{22}& 0& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& a_{m3}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)$$

Définition -- Matrice triangulaire (inférieure)

Une matrice est dite triangulaire inférieure si $a_{ij}$ quand $i<j$

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \dots & 0& a_{mn}\end{array}\right)$$

Définition -- Matrice diagonale

Une matrice est diagonale si elle est carrée et que seuls les coefficients $a_{ii}$ sont non-nuls

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \dots & 0\\ 0& a_{22}& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0\\ 0& \dots & 0& a_{mn}\end{array}\right)$$

Définition -- Matrices symétriques

Une matrice carrée est symétrique si $a_{ij}=a_{ji}$ pour tous les coefficients de la matrice. $A=A^T$

02.04 Systèmes d’équations et matrices