02.02 La multiplication de matrices

La multiplication n’est pas aussi triviale que la multiplication par un scalaire.

Il faut que la première matrice ait le même nombres colonnes que le nombre de lignes dans la deuxième matrice.

Définition -- multiplication de deux matrices

Pour $A\in M_{m\times p}(\mathbb{R})$ et $B\in M_{p\times n}(\mathbb{R})$, on définit le produit $A\cdot B$ où le coefficient $c_{ij}$ de la matrice résultante $C\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ est calculé par

$$c_{ij}=\sum _{k=1}^p{a}_{ik}{b}_{kj}$$

Propriétés

Pour les matrices, on peut voir que la multiplication n’est pas permutable, ce qui fait que nous n’avons pas toutes les même propriétés que la fois dernière

1. $A(CE)=(AC)E$
2. $(A+B)C=AC+BC$
3. $A(C+D)=AC+AD$
4. $\lambda (AC)=(\lambda A)C=A(\lambda C)$
5. $0\cdot A=0,A\cdot 0=0$
6. $(AC{)}^T=C^T{A}^T$
7. $A{I}_p=A{I}_{p}C=C$

02.03 Matrices carrées