02.01 Addition, multiplication par un scalaire, transposée

On a vu les opérations qu’on peut faire sur une matrice, mais il est également important de pouvoir faire des opérations sur plusieurs matrices !

Quand on note $M_{m\times n}(\mathbb{R})$, cela représente l’ensemble de toutes les matrices à coefficients réels, de taille $m\times n$

Définition -- Addition

Pour deux matrices $A,B\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$, on définit l’addition par

$$A+B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots & \dots & \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2n}\\ \dots & \dots & \ddots & ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \dots & b_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \dots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \dots & a_{2n}+b_{2n}\\ \dots & \dots & \ddots & ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \dots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)$$

Définition -- Multiplication par un scalaire

Pour une matrice $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$, et un scalaire $\lambda \in \mathbb{R}$, on définit la multiplication par un scalaire par

$$\lambda A=\lambda \cdot \left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots & \dots & \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\lambda \cdot a_{11}& \lambda \cdot a_{12}& \dots & \lambda \cdot a_{1n}\\ \lambda \cdot a_{21}& \lambda \cdot a_{22}& \dots & \lambda \cdot a_{2n}\\ \dots & \dots & \ddots & ⋮\\ \lambda \cdot a_{m1}& \lambda \cdot a_{m2}& \dots & \lambda \cdot a_{mn}\end{array}\right)$$

Définition -- Transposition

Pour une matrice $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$, on définit sa transposée $A^T\in M_{n\times m}(\mathbb{R})$ par

$$A^T=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \dots & a_{m1}\\ a_{12}& a_{22}& \dots & a_{m2}\\ \dots & \dots & \ddots & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& \dots & a_{nm}\end{array}\right)$$

On gardes les propositions

Propritétés

On a pour les trois matrices $A,B,C\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ et $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$ les propriétés suivantes

1. $A+B=B+A$
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$
3. $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$
4. $(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A$
5. $(\lambda \mu )A=\lambda (\mu A)$
6. $1\cdot A=A$
7. $(A+B{)}^T=A^T+B^T$
8. $(A^T{)}^T=A$
9. $(\lambda A{)}^T=\lambda A^T$
10. $0+A=A=A+0$
11. $(-1)\cdot A+A=0$
12. $0\cdot A=0$

02.02 La multiplication de matrices