06.2 Critères de convergence

Proposition -- Critère de Leibnitz

Il existe $p\in \mathbb{N}$ tel que $\forall n\ge p$ on a :

$$|a_{n+1}|\le |a_n|$$

En d’autres mots la suite est décroissante en valeur absolue

Il existe $p\in \mathbb{N}$ tel que $\forall n\ge p$ on a :

$$a_{n+1}\cdot a_n\le 0$$

La série est alternée

On a

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$$

Et donc si les 3 hypothèses sont vérifiées la série est convergente

Proposition

Si deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont de telles que $0\le a_n\le b_n$

• Si $\sum b_n$ converge, alors $\sum a_n$ converge
• Si $\sum a_n$ diverge, alors $\sum b_n$ diverge

Proposition -- Critère d'Alembert

Soit une suite $(a_n)$, avec $a_n\ne 0,\forall n\in \mathbb{N}$, et la limite ${\lim }_{n\to \infty }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$
Alors pour

$$\{\begin{array}{ll}\rho <1,& \sum a_n\text{ converge absolument}\\ \rho >1,& \sum a_n\text{ diverge}\\ \rho =1,& \text{pas de conclusion}\end{array}$$

Proposition -- Critère de Cauchy

(Ou critère de la racine)

Soit $(a_n)$ une suite et ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}=\rho \in \mathbb{R}$

Alors pour

$$\{\begin{array}{llc}\rho <1,& \sum a_n\text{ converge absolument}& \\ \rho >1,& \sum a_n\text{ diverge}\rho =1,& \text{pas de conclusion}\end{array}$$

Si le Critère d’Alembert $=r$ et que le Critère de Cauchy $=\ell$ => $r=\ell$

Parfois on a ${\lim }_{n\to \infty }|a_n{|}^{1/n}$ qui existe, mais pas le critère d’Alembert

Si le critère d’Alembert $=1$ ou de Cauchy $=1$, alors on ne peut pas tirer de conclusion sur la série