06.1 Séries numériques -- Définition et exemples

Définition -- Série

La série de terme général $a_n$ est un couple de

1. La suite $(a_n)$
2. La suite des sommes partielles

$$S_n=\sum _{k=0}^n{a}_k=a_0+a_1+\cdots +a_n$$

On note la $n$-ème somme partielle

$$S_n=\sum _{k=0}^n{a}_k$$

On appelle $a_k$ le $k$-ème terme.

Définition -- Convergence

La série ${\sum }_{k=0}^{\infty }{a}_k$ est convergente $⟺$ la suite $(S_n)$ est convergente

Si ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\ell$, alors la série ${\sum }_{k=0}^{\infty }{a}_k$ converge vers $\ell$

Définition -- Divergence

Si $(S_n)$ est divergente, alors on dit que la série ${\sum }_{k=0}^{\infty }{a}_k$ est divergente.

En particulier, pour ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\pm \infty$, on écrit ${\sum }_{k=0}^{\infty }{a}_k=\pm \infty$

On définit la série géométrique

$$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{2^k}$$

On avait trouvé $1+x+x^2+\cdots +x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$, et donc

$$S_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{2^n}=\frac{1-\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)}=2$$

On peut donc définir pour ${\sum }_{k=0}^{\infty }{r}^k$

$$\sum _{k=0}^{\infty }{r}^k=\frac{1}{1-r},|r|<1$$

Cependant on a la série harmonique qui diverge

$$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{n}=\infty$$

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On a cependant les convergences pour tout série de la forme

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p},p>1$$

On étudie la fonction zêta de Riemann qui est définie par

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s},s>1$$

On sait qu’elle converge et on défini ces valeurs connues :

• $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$
• $\zeta (2k)=C_k{\pi }^{2k},C_k\in \mathbb{Q}$ ce qui dit que c’est irrationnel
• $\zeta (3)$ est irrationnel
• $\zeta (5)$ est irrationnel

Définition -- Convergence absolue

Une série ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ est absolument convergente si

$$\sum _{n=1}^{\infty }|a_n|$$

Une série absolument convergente est convergente

Proposition

Si la série ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$, alors on a ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$

L'inverse de l'implication n'est pas vraie

06.2 Critères de convergence