05.4 Limite supérieure et limite inférieure d'une suite bornée

Définition

Soit $(a_n)$ une suite. Un point d’accumulation de $a_n$ est la limite $\ell \in \mathbb{R}$ d’une sous-suite de $a_n$

Note

Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, une suite bornée admet toujours un point d’accumulation

Définition

Soit une suite $(a_n)$ bornée, alors

• ${\lim }_{n\to \infty }\sup a_n$ est le plus grand point d’accumulation
• ${\lim }_{n\to \infty }\inf a_n$ est le plus petit point d’accumulation

Proposition

1. Pour une suite bornée, ${\lim }_{n\to \infty }\sup a_n$ et ${\lim }_{n\to \infty }\inf a_n$ existent
2. Si on a un nombre fini de sous suites $a_{n_k^1},a_{n_k^2},\dots ,a_{n_k^m}$ telles que $\{a_n\}={\bigcap }_i^m{a}_{n_k^m}$ Donc les sous-suites couvrent la suite $(a_n)$. et chacune des sous-suites converge, alors $\{l_i={\lim }_{n\to \infty }{a}_{n_k^i}\}$ est l’ensemble de tous les points d’accumulation

Proposition

Une suite bornée converge vers $\ell \in \mathbb{R}$ <=>

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\inf x_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\sup x_n=\ell$$

05.5 Suites définies par récurrence