04.4 Dérivées partielles d'ordre supérieur

Définition

Soit une fonction $f:E\to \mathbb{R}$ telle que $\frac{\delta f}{\delta x_k}$ existe pour un $k$ en tout point d’un ouvert $E\subset {\mathbb{R}}^n$.
Alors $\frac{\delta f}{\delta x_k}(\bar{x})$ est la fonction $k$-ème dérivée partielle

Définition

Si la fonction $\frac{\delta f}{\delta x_k}$ admet aussi une dérivée partielle par rapport à $x_i$, alors on a

$$\frac{\delta }{\delta x_i}\left(\frac{\delta f}{\delta x_k}\right)=\frac{{\delta }^{2}f}{\delta x_i\delta x_k}$$

Théorème

Soit $f:E\to \mathbb{R}$ telle que les dérivées partielles secondes $\frac{{\delta }^{2}f}{\delta x_i\delta x_j}$ et $\frac{{\delta }^{2}f}{\delta x_j\delta x_i}$ existent dans un voisinage de $\bar{a}$ et sont continues en $\bar{a}$. Alors on a

$$\frac{{\delta }^{2}f}{\delta x_i\delta x_j}(\bar{a})=\frac{{\delta }^{2}f}{\delta x_j\delta x_i}(\bar{a})$$

## Fonctions de classe $C^{p}$ > [!Definition] Définition > > Soit $E\subset \mathbb{R}^{n}$ ouvert. > La fonction $f:E\to \mathbb{R}$ est de **classe** $C^{p}$ sur $E$ si toutes les dérivées partielles d'ordre $\leq p$ existent et sont continues sur $E$ ## Matrice Hessienne

\text{Hess}(f)(\bar{a}) = \begin{pmatrix}
\frac{\delta^{2}f}{\delta x_{1}^{2}}(\bar{a}) & \frac{\delta f}{\delta x_{2}\delta x_{1}}(\bar{a}) & \dots & \frac{\delta^{2}f}{\delta x_{n}\delta x_{1}}(\bar{a}) \
\frac{\delta^{2}f}{\delta x_{1}\delta x_{2}}(\bar{a}) & \frac{\delta^{2}f}{\delta x_{2}^{2}}(\bar{a}) & \dots & \frac{\delta^{2}f}{\delta x_{n}\delta x_{2}}(\bar{a}) \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
\frac{\delta^{2}f}{\delta x_{1}\delta x_{n}}(\bar{a}) & \frac{\delta^{2}f}{\delta x_{2}\delta x_{n}}(\bar{a}) & \dots & \frac{\delta^{2}f}{\delta x_{n}^{2}}(\bar{a})
\end{pmatrix}

> [!Definition] Définition > > La matrice Hessienne en $\bar{a}$ est la matrice des dérivées partielles d'ordre $2$ (ci-dessus) [[04.5 Fonctions à valeurs dans Rm]]