04.3 Dérivabilité et la différentielle

Définition

Soit $f:E\to \mathbb{R},E\subset {\mathbb{R}}^n,\bar{a}\in E$

On dit que $f$ est dérivable en $\bar{a}$ s’il existe une transformation linéaire $L_{\bar{a}}:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$

$$f(\bar{x})=f(\bar{a})+L_{\bar{a}}(\bar{x}-\bar{a})+r(\bar{x}),\text{ avec }\underset{\bar{x}\to \bar{a}}{\lim }\frac{r(\bar{x})}{\Vert \bar{x}-\bar{a}\Vert }=0$$

$L\bar{a}$ est appelée la différentielle de $f$ en $\bar{a}$ notée $df(\bar{a})$

C’est linéaire => $T(\alpha {\bar{x}}_1+\beta {\bar{x}}_2)=\alpha T({\bar{x}}_1)+\beta T({\bar{x}}_2)$

On a que $T(\bar{0})=0$

Théorème

Pour une fonction $f:E\subset {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R},\bar{a}\in E$ tel que $f$ est dérivable en $\bar{a}$,

1. $f$ est continue en $\bar{a}\in E$
2. Pour tout $\bar{v}\in {\mathbb{R}}^n,v\ne \bar{0}$, la dérivée directionnelle est $\boxed{Df(\bar{a},\bar{v})=L_{\bar{a}}(\bar{v})}$
3. Toutes les dérivées partielles existent en $\bar{a}$ et on a $\frac{\delta f}{\delta x_k}(\bar{a})=L\bar{a}({\bar{e}}_k)$ Et le gradient est donné par $\nabla f(\bar{a})=(L_{\bar{a}}({\bar{e}}_1),\dots ,L_{\bar{a}}({\bar{e}}_n))$
4. Pour tout $\bar{v}\in {\mathbb{R}}^n,v\ne \bar{0}$ $D(f\bar{a},\bar{v})=L_{\bar{a}}(\bar{v})=⟨\nabla f(\bar{a}),\bar{v}⟩$
5. Pour tout $\bar{v}\in {\mathbb{R}}^n,\Vert \bar{v}\Vert =1$ on $Df(\bar{a},\bar{v})\le \Vert \nabla f(\bar{a})\Vert$ et aussi $Df\left(\bar{a},\frac{\nabla f(\bar{a})}{\Vert \nabla f(\bar{a})\Vert }\right)=\Vert \nabla f(\bar{a})\Vert$

On a l’équation du plan tangent d’une surface $F(\bar{x})=0$, si $F$ est dérivable en $\bar{x}=\bar{a}$ et $\nabla F(\bar{a})\ne \bar{0}$ donné par

$$⟨\nabla F(\bar{a}),(\bar{x}-\bar{a})⟩=0$$

On a le plan tangent à la surface d’un graphique $z=f(x,y)$, si $f:E\to \mathbb{R}$ est dérivable sur $E$

On a le point $\bar{a}\in (x_0,y_0,z_0=f(x_0,y_0))\in {\mathbb{R}}^3$

L’équation du plan tangent au point $(x_0,y_0,z_0)$ est donné par

$$z=f(x_0,y_0)+\frac{\delta f}{\delta x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\delta f}{\delta y}(x_0,y_0)(y-y_0)$$

Théorème

Pour un ensemble ouvert $E\subset R^n$ et la fonction $f:E\to \mathbb{R},\bar{a}\in E$
On suppose qu’il existe un $\delta >0$ tq toutes les dérivées partielles $\frac{\delta f}{\delta x_k}(\bar{x})$ existent sur $B(\bar{a},\delta s)$
et elles sont continues en $\bar{a}$

Alors $f$ est dérivable en $\bar{a}$

Méthodes pour vérifier la dérivabilité

• Méthode 1

Si toutes les dérivées partielles sont continues en un point => la fonction est dérivable à ce point

• Méthode 2

1. Si $\nabla f(\bar{a})$ n’existe pas => La fonction n’est pas dérivable

2. Si $\nabla f(\bar{a})$ existe, on pose $r(\bar{x})=f(\bar{x})-f(\bar{a})-⟨\nabla f(\bar{a}),\bar{x}-\bar{a}⟩$
   On a alors que si ${\lim }_{\bar{x}\to \bar{a}}\frac{r(\bar{x})}{||\bar{x}-\bar{a}||}=0$ => la fonction est dérivable en $\bar{a}$

   Si ${\lim }_{\bar{x}\to \bar{a}}\frac{r(\bar{x})}{||\bar{x}-\bar{a}||}\ne 0$ => la fonction n’est pas dérivable en $\bar{a}$

Remarque

Le plan tangent au graphique $z=f(x,y)$ au point $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ est défini uniquement si $f$ est dérivable

Résumé

On a classe $C^1$ sur $E$ > Dérivable en $\bar{a}$ > $Df(\bar{a},\bar{v})$ existent $\forall \bar{v}\ne \bar{0}$ ==> $\frac{\delta f}{\delta x_k}(\bar{a})$ existent $\forall k$

04.4 Dérivées partielles d’ordre supérieur