03.2 Limites et continuités

Limite

Définition

Une fonction définie au voisinage de ${\bar{x}}_0$, mais pas forcément en ${\bar{x}}_0$

$$\left[\exists \delta >0:B({\bar{x}}_0,\delta )\subset E\cup \{{\bar{x}}_0\}\right]$$

Admet pour limite le nombre réel $l$ lorsque $\bar{x}$ tend vers ${\bar{x}}_0$
Si pour tout $ϵ>0,\exists d>0,\bar{x}\in E\text{ et }0<\Vert \bar{x}-{\bar{x}}_0\Vert \le d,$ on a $|f(\bar{x})-l|\le ϵ$

On note cela ${\lim }_{\bar{x}\to {\bar{x}}_0}f(\bar{x})=l$

Continuité

Définition

Soit $\bar{x}\in E$ un point intérieur de $E$. Alors on a la fonction $f:E\to \mathbb{R}$ continue en $\bar{x}={\bar{x}}_0⟺{\lim }_{\bar{x}\to {\bar{x}}_0}f(\bar{x})=f({\bar{x}}_0)$

Convergence

Théorème

• Une fonction $f:E\to \mathbb{R}$ définie au voisinage de ${\bar{x}}_0$, admet pour limite $l\in \mathbb{R}$ quand $\bar{x}\to {\bar{x}}_0$
• Si et seulement si
• pour toute suite d’éléments $\{{\bar{a}}_k\}$ de $\{\bar{x}\in E:\bar{x}\ne {\bar{x}}_0\}$ qui converge vers ${\bar{x}}_0$ la suite $\{f({\bar{a}}_k)\}$ converge vers $l$

D

A savoir pour exam
($P⟹Q$)
On suppose que ${\lim }_{\bar{x}\to {\bar{x}}_0}f(\bar{x})=l$
Alors tout $ϵ>0$, il existe $\delta >0$ tel que $\forall \bar{x}:0<\Vert \bar{x}-{\bar{x}}_0\Vert \le \delta ⟹|f(\bar{x})-l|\le ϵ$

Si $\{{\bar{a}}_k\}\to {\bar{x}}_0$ alors il existe $k_0:\forall k\ge k_0⟹\Vert {\bar{a}}_k-{\bar{x}}_0\Vert \le \delta ⟹|f({\bar{a}}_k)-l|\le ϵ$
Donc ${\lim }_{k\to \infty }f({\bar{a}}_k)=l$

($Q⟹P$)
On suppose que $\neg P$
Alors il existe $ϵ>0$ tel que $\forall \delta >0$, il existe ${\bar{x}}_{\delta }$ avec$\Vert {\bar{x}}_{\delta }-{\bar{x}}_0\Vert \le \delta$ et $|f({\bar{x}}_{\delta })-l|>ϵ$
En choisissant $\delta =\frac{1}{k},k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ on obtient une suite $\{{\bar{x}}_k\}$, tq $\Vert {\bar{x}}_k-{\bar{x}}_0\Vert \le \frac{1}{k}$, et donc que ${\bar{x}}_k\to {\bar{x}}_0$

On a les opérations suivantes sur les limites :

• ${\lim }_{\bar{x}\to {\bar{x}}_0}(\alpha f+\beta g)(x)=\alpha l_1+\beta l_2$
• ${\lim }_{\bar{x}\to {\bar{x}}_0}(f\cdot g)(\bar{x})=l_1{l}_2$
• Si $l_2\ne 0$, alors ${\lim }_{\bar{x}\to {\bar{x}}_0}\left(\frac{f}{g}\right)(\bar{x})=\frac{l_1}{l_2}$

Proposition

Soit $f:D\to \mathbb{R}$ définie au voisinage de ${\bar{x}}_0\in {\mathbb{R}}^n$,
Alors ${\lim }_{\bar{x}\to {\bar{x}}_0}f(\bar{x})=l$
$⟺$ pour toute courbe continue $\gamma :[a,b]\to {\mathbb{R}}^n$ tq $\gamma ([a,b])\subset D\setminus \{{\bar{x}}_0\}$ et ${\lim }_{t\to a^{+}}\gamma (t)={\bar{x}}_0$, on a ${\lim }_{t\to a^{+}}f(\gamma (t))=l$

On ne peut pas calculer la limite d'une fonction de plusieurs variables simplement en calculant les limites successives de chaque variable

Méthode des coordonnées polaires

Pour démontrer l’existence d’une limite, on va souvent utiliser les coordonnées polaires

$$\begin{array}{lcc}x=r\cos \varphi & y=r\sin \varphi & r\in {\mathbb{R}}_{\ge 0},\varphi \in [0,2\pi [\end{array}$$

Alors on a la limite

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)=l⟺\underset{r\to 0}{\lim }(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )=l$$

Théorème

Théorème des deux gendarmes
Soient trois fonctions $f,g,h$, telles que

1. ${\lim }_{\bar{x}\to {\bar{x}}_0}f(\bar{x})={\lim }_{\bar{x}\to {\bar{x}}_0}g(\bar{x})=l$
2. $\exists \alpha >0:\forall \bar{x}\in B({\bar{x}}_0,\alpha )\backslash \{{\bar{x}}_0\},f(\bar{x})\le h(\bar{x})\le g(\bar{x})$

Alors la limite ${\lim }_{\bar{x}\to {\bar{x}}_0}h(\bar{x})=l$

Proposition

Critère des gendarmes en polaires
Transformons le théorème si-dessus en coordonnées polaires
${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=l⟺\exists \delta >0$ et $\psi :]0,\delta [\to \mathbb{R}$ tels que

1. $\forall \varphi \in [0,2\pi [$, $\forall r\in ]0,\delta [$, $|f(x_0+r\cos \varphi ,y_0+r\sin \varphi )-l|\le \psi (r)$
2. ${\lim }_{r\to 0^{+}}\psi (r)=0$

On peut utiliser les développement limités d’une variable pour estimer les fonctions dans le théorème des gendarmes.
Pour $\Vert (x,y)\Vert \to 0$, on remplacer $\psi (x)$ ou $\mathcal{X}(y)$ par leur DL autour de $0$

$$\psi (x)=\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k+x^n\cdot ϵ(x)$$

Proposition

Pour $D\subset {\mathbb{R}}^2,(x_0,y_0)\in D$, et la fonction $g:D\to \mathbb{R}$ définie en voisinage de $(x_0,y_0)$. Si

• $f(x,y)=(\varphi \circ g)(x,y)=\varphi (g(x,y))$
• ${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}g(x,y)=l$
• ${\lim }_{s\to l}\varphi (s)=\varphi (l)$
  Alors on a ${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=\varphi (l)$

Proposition

Pour $A\subset {\mathbb{R}}^n\to B\subset {\mathbb{R}}^p\to \mathbb{R}$
Si les composantes $g_i$ sont continues en $\bar{a}$ et $f$ continue en $\bar{g}(\bar{a})$, alors $f\circ \bar{g}$ est continue en $\bar{a}$

Minimum et maximum

Définition

$M$ est le maximum (et du coup $m$ le minimum) de $f$ sur $E$ si $M=f(\bar{a})$ pour un certain $\bar{a}\in E$ et $f(\bar{x})\le M$ pour tout $\bar{x}\in E$ (et du coup $f(\bar{x})\ge m$ pour tout $\bar{x}\in E$)

Théorème

Une fonction continue sur un ensemble compact atteint son maximum et minimum
$f:E\to \mathbb{R},E\subset {\mathbb{R}}^n$
$\exists {\max }_{\bar{x}\in E}f(x),\exists {\min }_{\bar{x}\in E}f(x)$