02.1 Rn est un espace vectoriel normé

Définition

${\mathbb{R}}^n$ est l’ensemble de tous les $n$-tuples ordonnés de nombres réels
Un point/élément $\bar{x}\in {\mathbb{R}}^n$ est noté

$$\bar{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$

Cet espace est muni de

1. L’addition, où $\bar{x}=(x_1,\dots ,x_n)$ et $\bar{y}=(y_1,\dots ,y_n)$ : $\bar{x}+\bar{y}=(x_1+y_1,\dots ,x_n+y_n)$
2. La multiplication scalaire, où $\bar{x}=(x_1,\dots ,x_n)$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ $\lambda \cdot \bar{x}=(\lambda x_1,\dots ,\lambda x_n)$
   Une base de cet espace est donné par $\{{\bar{e}}_i=(0,0,\dots ,1,\dots ,0)\}$, avec $1$ à l’index $i$

Définition

Le produit scalaire est donné par

$$⟨\bar{x},\bar{y}⟩=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n$$

Définition

La norme euclidienne est définie par

$$\Vert \bar{x}\Vert =⟨\bar{x},\bar{x}⟩$$

Inégalité de Cauchy-Schwarz

A retenir pour exam !

On a $|⟨\bar{x},\bar{y}⟩|\le \Vert \bar{x}\Vert \cdot \Vert \bar{y}\Vert$
On a $\lambda \in \mathbb{R}$
On considère la somme $S={\sum }_{i=1}^n(\lambda x_i+y_i{)}^2$
On a $S\ge 0$ car c’est une somme de termes positifs ($a^2\ge 0,\forall a\in \mathbb{R}$)

$$b^2-4ac={\left(2\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\right)}^2-4\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{y}_i^2\right)\le 0$$

Ce qui implique que

$$4\Vert \bar{x}{\Vert }^2\cdot \Vert \bar{y}{\Vert }^2\ge 4⟨\bar{x},\bar{y}{⟩}^2⟺\Vert \bar{x}\Vert \cdot \Vert \bar{y}\Vert \ge |⟨\bar{x},\bar{y}⟩|$$

Théorème

Inégalité triangulaire
On a $\Vert \bar{x}+\bar{y}\Vert \le \Vert \bar{x}\Vert +\Vert \bar{y}\Vert$

Théorème

Seconde inégalité triangulaire
On a $\Vert \bar{x}-\bar{y}\Vert \le \Vert \bar{x}\Vert -\Vert \bar{y}\Vert$

Définition

On a la distance donnée par

$$d(\bar{x},\bar{y})=\Vert \bar{x}-\bar{y}\Vert$$

02.2 Sous-ensembles ouverts et fermés de Rn