01.3 Equations différentielles linéaires du 1e ordre EDL1

Définition

Soit $I\subset \mathbb{R}$ un intervalle ouvert,
Une équation de la forme :
$y^{\prime }(x)+p(x)y(x)=f(x),p,f:I\to \mathbb{R}$
est une équation différentielle linéaire du premier ordre (ou EDL1)

Résolution

On considère l’EDVS associée : $y^{\prime }(x)+p(x)y(x)=0$
On a donc
$\int \frac{dy}{y}=-\int p(x)dx⟹ln(|y|)=-P(x)+C⟹y=C(x)e^{-P(x)}$
On peut ensuite remplacer $y^{\prime }(x)$ et $y(x)$ dans la fonction de base pour trouver une solution
La solution est donnée par
$y(x)=y_{\text{hom}}(x)+y_{\text{part}}(x)$
La solution homogène $y_{\text{hom}}(x)$ est donnée par
$y_{\text{hom}}(x)=C{e}^{-P(x)}$
La solution particulière $y_{\text{part}}(x)$
$y_{\text{part}}(x)=\left(\int f(x)e^{P(x)}dx\right)e^{-P(x)}$
La solution générale est donc donnée par
$y(x)=C{e}^{-P(x)}+\left(\int f(x)e^{P(x)}dx\right)e^{-P(x)}$

Définition

Méthode de la variation constante
On cherche une fonction
$v(x)=C(x)e^{-P(x)}$
On appelle cela un Ansatz. Si $v(x)$ est une solution de l’équation, alors
$v^{\prime }(x)+p(x)v(x)=f(x)⟹C^{\prime }(x)e^{-P(x)}+C(x)e^{-P(x)}\cdot (-p(x))+p(x)C(x)e^{-P(x)}=f(x)$
On a donc
$C^{\prime }(x)e^{-P(x)}=f(x)⟹C^{\prime }(x)=f(x)e^{P(x)}⟹C(x)=\int f(x)e^{P(x)}dx$
On a donc une solution particulière de l’équation donnée par :
$v(x)=e^{-P(x)}\cdot \int f(x)e^{P(x)}dx$

Proposition

Soient $p,f:I\to \mathbb{R}$ des fonctions continues. Si $v_0$ est une solution particulière d’une EDL1, alors la solution générale de l’équation est donnée par
$v(x)=v_0(x)+C{e}^{-P(x)}$
(Démonstration à savoir pour l’ exam )

D

On a une solution arbitraire $v_1$ de l’équation $y^{\prime }+p(x)y=f(x)$
On démontre qu’il existe $C\in \mathbb{R}$, tq $v_1(x)=v_0(x)C{e}^{-P(x)}$, $v_0$ étant une solution particulière donnée
Par le principe de superposition des solutions, la fonction $v_1(x)-v_0(x)$ est une solution $y^{\prime }+p(x)y=f(x)-f(x)=0$
L’équation $y^{\prime }+p(x)y=0$ est une EDVS, et comme la solution générale de cette équation est donnée par $C{e}^{-P(x)}$, alors il doit $\exists C\in \mathbb{R}$ tq $v_1(x)-v_0(x)=C{e}^{-P(x)}$, et donc nous avons $v_1(x)=v_0(x)+C{e}^{-P(x)}$
Puisque $v_1(x)$ était une solution arbitraire, on a que l’ensemble de solution de l’EDL1 est $v(x)=v_0(x)+C{e}^{-P(x)}$, donc c’est une solution générale
cqfd

01.4 Equations différentielles linéaires du 2e ordre EDL2