01.2 Equation différentielles à variables séparées EDVS

Définition

Une équation de la forme $f(y)\cdot y^{\prime }=g(x)$ est une EDVS avec
$f:I\to \mathbb{R}\text{ est continue sur }I\subset \mathbb{R}$
$g:I\to \mathbb{R}\text{ est continue sur }J\subset \mathbb{R}$
Une solution est une fonction $y:J^{\prime }\subset J\to I$ de classe $C^1$

Explication

On a $f(y)\frac{dy}{dx}=g(x),\forall x\in J$
$⟹f(y)dy=g(x)dx⟹\int f(y)dy=\int g(x)dx$

Exemple

Une équation différentielle $y^{\prime }=-y$, via EDVS:
$⟹-\frac{1}{y}{y}^{\prime }=1⟹-\frac{1}{y}\cdot \frac{dy}{dx}=1⟹\int \frac{1}{y}dy=\int -1dx$
$⟹\ln |y|+C_1=-x+C_2⟹\ln |y|=-x+C_3$
$|y|=e^{C_3-x}=e^{C_3}\cdot e^{-x}$
$⟹y(x)=C_4\cdot e^{-x}$

01.3 Equations différentielles linéaires du 1e ordre EDL1