01.1 Définitions et exemples

Définition

Une équation différentielle ordinaire est une expression
$E(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n)})=0$
Avec $E$ une expression fonctionnelle, $n\in \mathbb{Z}$ et $y=y(x)$ une fonction inconnue

Définition

Une solution de l’équation différentielle est une fonction $y:I\to \mathbb{R}$ de classe $C^n$ sur un intervalle ouvert $I\subset \mathbb{R}$ telle que l’équation donnée est satisfaite $\forall x\in I$

Définition

La solution générale est l’ensemble de toutes les solutions de l’équation différentielle

Exemple

Soit $y=y(x),x\in \mathbb{R}$, tq $y^{\prime }=0\forall x\in \mathbb{R}$
$y^{\prime }=0$
$y(x)=C$
Du coup on a une solution particulière $y(x)=1$, et la solution générale $y(x)=C,\forall C\in \mathbb{R}$

Exemple

Soit $y^{\prime \prime }=3$
$⟹y^{\prime }(x)=\int 3dx=3x+C_1,\forall C_1\in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R}$
$⟹y(x)=\int y^{\prime }(x)dx=\int (3x+C_1)dx=\frac{3}{2}{x}^2+C_{1}x+C_2\forall C_1,C_2\in \mathbb{R}$

Définition

Un nombre naturel $n\in \mathbb{Z}$ est l’ordre de l’équation différentielle $E$ si $n$ est l’ordre maximal de la dérivée de $y(x)$ de l’équation

Définition

Si $E$ est de la forme $a_n(x)y^{(n)}+\cdots +a_2(x)y^{\prime \prime }+a_1(x)y^{\prime }+a_0(x)y=b(x)$, l’équation est dite linéaire

Exemple

$2\sin (x)\cdot y+x^2\cdot y^{\prime }=\cos x$ est linéaire
$y^2-y^{\prime \prime }+y=0$ n’est pas linéaire

Définition

Si l’équation ne contient pas la variable $x$, alors on dit que la fonction est autonome

Problème de Cauchy

analyse

Définition

Le problème de Cauchy consiste à résoudre une équation différentielle qui a des conditions initiales (donc certaines formes de $y$ ont des valeurs associées)
On appelle une solution d’un problème de Cauchy la solution particulière

Exemple

$y^{\prime \prime }=0,y(0)=1,y^{\prime }(0)=2$
$y^{\prime }=\int 0dx=C_1$
$y=\int y^{\prime }dx=\int C_{1}dx=C_1\cdot x+C_2$
$\begin{array}{l}y(0)=C_2=1\\ y^{\prime }(0)=C_1=2\end{array}\}⟹y(x)=2x+1$

Définition

On dit qu’une solution est maximale si il n’y a pas d’intervalle plus grand sur lequel la même fonction a une solution

Théorème

On a une fonction continue $f$ telle que $f(y)\ne 0,\forall y\in I$ et $g$ une fonction continue sur $J$. Alors $\forall x_0\in J,\forall b_0\in I$, l’équation
$f(y)\cdot y^{\prime }=g(x)$
a une solution $y=J^{\prime }\subset J\to I$ vérifiant la condition initiale $y(x_0)=b_0$

Si $y_1$ et $y_2$ sont deux solutions de la même condition initiale, alors $y_1(x)=y_2(x)$

(Démonstration à savoir pour l’ exam)

D

On a la fonction
$F(y)={\int }_{b_0}^{y}f(t)dt$
On sait que $F(y)$ est dérivable, et que $F(y{)}^{\prime }=f(y)\ne 0$
Vu que $f(y)$ ne passe pas par $0$, $f(y)$ ne change pas de signe, donc $F(y)$ est monotone -> elle est donc inversible
Soit aussi $G(x)$ :
$G(x)={\int }_{x_0}^{x}g(t)dt$
Au point $x_0$, on a $G(x_0)=0$
On sait également que $G(x)$ est dérivable $G(x{)}^{\prime }=g(x)$
On sait que $F^{-1}(G(x_0))=F^{-1}(0)=b_0\in I$
$y(x)=F^{-1}(G(x))$
Démontrons que $y(x)$ est une solution de l’équation $f(y)\cdot y^{\prime }(x)=g(x)$
En manipulant notre définition :
$F(y(x))=G(x)⟹F^{\prime }(y(x))y^{\prime }(x)=G^{\prime }(x)⟹f(y)y^{\prime }(x)=g(x)$
De plus on a $G(x_0)=0$ et $F(b_0)=0$ :
$y(x_0)=F^{-1}(G(x_0))=F^{-1}(0)=b_0$
On part de l’équation
$g(y)\frac{dy}{dx}=f(x)$
Et notre théorème nous dit que
$\int f(y)dy=\int g(x)dx⟺F(y)=G(x)$

01.2 Equation différentielles à variables séparées EDVS