04.10 Théorème des fonctions implicites

Définition

Une fonction implicite est une fonction qui est définie par une équation

Exemple $F(x,y)=\alpha x+\beta y$. et $F(x,y)=0$ ⇒ fonction implicite $y=f(x)$

On a pour une fonction

Définition

Une ligne (ou surface) de niveau d’une fonction $F(x,y)$ est l’ensemble des points vérifiant $F(x,y)=C$, $C$ étant le niveau

Le même est aussi vrai pour les surfaces ($F(x,y,z)=C$)

On peut relativiser cela aux courbes de niveau sur une carte géographique

Théorème

Soit $F:E\subset {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^1$ au voisinage de $\bar{a}$, telle que

1. $F(\bar{a})=0$
2. $\frac{\delta F}{\delta x_n}(\bar{a})\ne 0$

Alors il existe un voisinage $B$ de $(a_1,\dots ,a_{n-1})\in {\mathbb{R}}^{n-1}$ et une fonction $f:B\to \mathbb{R}$ telle que 3. $a_n=f(a_1,\dots ,a_{n-1})$ 4. $F(x_1,\dots ,x_{n-1},f(x_1,\dots ,x_{n-1}))=0$ pour tout $(x_1,\dots ,x_{n.1})\in B$

De plus, $f$ est de classe $C^1$ sur $B$, et pour tout $p\in \{1,\dots ,n-1\}$ on a

$$\frac{\delta f}{\delta x_p}(x_1,\dots ,x_{n-1})=\frac{\frac{\delta F}{\delta x_p}(x_1,\dots ,x_{n-1},f(x_1,\dots ,x_{n-1}))}{\frac{\delta F}{\delta x_n}(x_1,\dots ,x_{n-1},f(x_1,\dots ,x_{n-1}))}$$

TFI à deux variables

On a l’équation $F(x,y)=0$ qui définit localement autour de $(a,b)$ la fonction $y=f(x)$ ⇒

1. $f(a)=b$
2. $F(x,f(x))=0,\forall x$ au voisinage de $x=a$
3. $f^{\prime }(x)=-\frac{\frac{\delta F}{\delta x}(x,f(x))}{\frac{\delta F}{\delta y}(x,f(x))}$

TFI à trois variables

On a l’équation $F(x,y,z)=0$ définit localement autour de $(a,b,c)$ et la fonction $z=f(x,y)$ ⇒

1. $f(a,b)=c$
2. $F(x,y,f(x,y))=0,\forall x$ au voisinage de $(a,b)$
3. $\frac{\delta f}{\delta x}(x,y)=\frac{\frac{\delta F}{\delta x}(x,y,f(x,y))}{\frac{\delta F}{\delta z}(x,y,f(x,y))};\frac{\delta f}{\delta y}(x,y)=\frac{\frac{\delta F}{\delta y}(x,y,f(x,y))}{\frac{\delta F}{\delta z}(x,y,f(x,y))}$

On peut ainsi obtenir l’hyperplan tangent à une fonction $F$ au point $\vec{a}$, qui est défini par

$$⟨\nabla F(\vec{a}),\vec{x}-\vec{a}⟩=0$$

Il y a toujours une question sur les plans tangents à l'examen exam

04.11 Extrema liés. Méthode des multiplicateurs de Lagrange