02.2 Sous-ensembles ouverts et fermés de Rn

Définition

Pour tout $\bar{x}\in {\mathbb{R}}^n$ et tout $\delta >0$, la “boule ouverte” de centre $\bar{x}$ et de rayon $\delta$ est l’ensemble

$$B(\bar{x},\delta )=\{\bar{y}\in {\mathbb{R}}^2:d(\bar{x},\bar{y})<\delta \}$$

On dit que cet ensemble est ouvert si

1. $E=\varnothing$ ou
2. $E\ne \varnothing$ et pour tout $\bar{x}\in E$, il existe $\delta >0$ tel que $B(\bar{x},\delta )\subset E$

Définition

On dit qu’un point $\bar{x}\in E$ est un point intérieur de $E$ s’il existe $\delta >0$ tel que la boule ouverte $B(\bar{x},\delta )\subset E$

L’ensemble de tous les points intérieurs est noté $E^{\circ }$ $E^{\circ }\subseteq E$, est n’est ouvert que quand $E=E^{\circ }$

Propriétés des ensembles ouverts

Toute réunion d’ensembles ouverts est un ensemble ouvert

Propriétés des ensembles ouverts

Toute intersection finie d’ensembles ouverts est un ensemble ouvert

Une intersection infinie n'est pas forcément ouverte

Définition

Un ensemble $E\subset {\mathbb{R}}^n$ est dit fermé si son complémentaire $\complement E={\mathbb{R}}^n-E$ est ouvert

Propriétés des ensembles fermés

Toute réunion finie d’ensembles fermés est un ensemble fermé

Propriétés des ensembles fermés

Toute intersection d’ensembles fermés est un ensemble fermé

02.3 L’adhérence et la frontière d’un sous-ensemble de Rn