Définition

Sur un intervalle ouvert $I$ , on appelle les équations différentielles linéaires du second ordre une équation de la forme
$y^{''} (x) + p (x) y^{'} (x) + q (x) y (x) = f (x)$
Avec $p, q, f : I \to R$ des fonctions continues

Définition

Une équation de la forme
$y^{''} (x) + p (x) y^{'} (x) + q (x) y (x) = 0$
est dite une EDL2 homogène

Pour résoudre une EDL2 homogène, on cherche deux nombre $a, b$ tels que

{p p = = - (a + b) ab

On a donc que $a, b$ sont les racines de l’équation caractéristique

λ^{2} + p λ + q = 0

On peut donc réécrire l’EDL2 homogène :

y^{''} (x) - (a + b) y^{'} (x) + ab y (x) = 0 ⟹ (y^{'} (x) - a y (x))^{'} - b (y^{'} (x) - a y (x)) = 0

Cas des racines complexes

Si $a, b \neq \in R$ , alors $b = \overset{a}{ˉ}$ , puisque $p, q \in R$ , soit $a = α + i β$ , avec $β \neq = 0$ . Pour avoir une solution réelle, on écrit

y (x) = C e^{a x} + \overset{ˉ}{C} e^{\overset{a}{ˉ} x}

Si on pose $C = \frac{1}{2} (C_{3} - i C_{4})$ , on obtient que

y (x) = C_{3} e^{αx} cos (β x) + C_{4} e^{αx} sin (β x)

Solution générale

La solution générale est donnée par

y (x) = ⎩ ⎨ ⎧ C_{1} e^{a x} + C_{2} e^{b x} (C_{1} + C_{2} x) e^{a x} C_{1} e^{αx} cos β x + C_{2} e^{αx} sin β x si a \neq = b, a, b \in R si a = b \in R si a, b = α \pm i β \neq \in R

Théorie générale

Théorème

Une EDL2 homogène admet une unique solution de classe $C^{2}$ satisfaisant les conditions initiales $y (x_{0}) = t$ et $y^{'} (x_{0}) = s$ , pour tout $x_{0} \in I$ et $s, t \in R$

Comment résoudre

On suppose qu’on connait une solution $v_{1} (x) \neq = 0$ de l’équation $y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y = 0$ , on cherche une deuxième solution $v_{2} (x)$ linéairement indépendante

Ansatz: v_{2} (x) = c (x) v_{1} (x)

On a donc que $v_{2}^{'} (x) = c^{'} (x) v_{1} (x) + c (x) v_{1}^{'} (x)$ $v_{2}^{''} = c^{''} (x) v_{1} (x) + 2 c^{'} (x) v_{1}^{'} (x) + c (x) v_{1}^{''} (x)$ On remplace cela dans notre équation de base

c^{''} (x) v_{1} (x) + 2 c^{'} (x) v_{1}^{'} (x) + = 0 c (x) v_{1}^{''} (x) + p (x) c^{'} (x) v_{1} (x) + = 0 p (x) c (x) v_{1}^{'} (x) + = 0 q (x) c (x) v_{1} (x) = 0

Vu que $v_{1}$ est une solution, on a que

c^{''} (x) v_{1} (x) + 2 c^{'} (x) v_{1} 1 (x) + p (x) c^{'} (x) v_{1} (x) = 0

On suppose ensuite que $v_{1} (x) \neq = 0$ et $c^{'} (x) \neq = 0$ et donc

\frac{c ^{''} ( x )}{c ^{'} ( x )} = - p (x) - 2 \frac{v _{1}^{'} ( x )}{v _{1} ( x )}

Ce qui est une EDVS pour $c^{'} (x)$ et donc on peut résoudre

c (x) = \int C_{1} \frac{e ^{- P (x)}}{v _{1}^{2}} d x + C_{2}, C_{2} \in R, C_{1} \in R^{*}

Solutions linéairement indépendantes

Définition Wronskien

On a deux fonctions dérivables $v_{1}, v_{2} : I \to R$ , $I \subset R$ . La fonction $W [v_{1}, v_{2}] : I \to R$
$W [v_{1}, v_{2}] (x) = det (v_{1} (x) v_{1}^{'} (x) v_{2} (x) v_{2}^{'} (x)) = v_{1} (x) v_{2}^{'} (x) - v_{2} (x) v_{1}^{'} (x)$
On appelle cela le Wronskien de $v_{1}$ et $v_{2}$

Proposition

Soient $v_{1}, v_{2} : I \to R$ deux solutions de l’EDL2 homogène $y^{''} (x) + y^{'} (x) p (x) + y (x) q (x) = 0$ Alors $v_{1}$ et $v_{2}$ sont linéairement indépendantes $⟺$ $W [v_{1}, v_{2}] (x) \neq = 0, \forall x \in I$

Démonstration par contraposée

A retenir pour exam

$\neg P ⟹ \neg Q$ On montre que si les solutions sont linéairement dépendantes, alors le Wronskien est égal à zéro. Si $v_{1}$ et $v_{2}$ sont liées, alors il existe $c \in R$ tel que $v_{2} (x) = c v_{1} (x)$ pour tout $x \in I$
$W [v_{1}, v_{2}] (x) = det (v_{1} (x) v_{1}^{'} (x) c v_{1} (x) c v_{1}^{'} (x)) = c v_{1} (x) v_{1}^{'} (x) - c v_{1} (x) v_{1}^{'} (x) = 0$
$\neg Q ⟹ \neg P$ On suppose qu’il existe $x_{0} \in I$ tel que $W [v_{1}, v_{2}] (x_{0}) = 0$ . Alors les colones de Wronskien en $x_{0}$ sont liées. Il existe un vecteur non nul tel que
$(v_{1} (x_{0}) v_{1}^{'} (x_{0}) v_{2} (x_{0}) v_{2} (x_{0})) (a b) = {a v_{1} (x_{0}) + b v_{2} (x_{0}) = 0 a v_{1}^{'} (x_{0}) + b v_{2}^{'} (x_{0}) = 0$
Soit donc le vecteur $v (x) = a v_{1} (x) + b v_{2} (x)$ . Par la superposition des solutions (somme de deux solutions part = une autre solution part), $v (x)$ est solution de l’EDL2 homogène. On a aussi que $v_{1} (x_{0}) = 0$ et $v_{1}^{'} (x_{0}) = 0$ . Par le théorème d’existence et d’unicité, la seule solution de ces contraintes est $y (x) = 0, \forall x \in I$ . On a donc $a v_{1} (x) + b v_{2} (x) = 0$ . Vu que le vecteur est non nul :
${a v_{1} (x) = - b v_{2} (x) b v_{2} (x) = - a v_{1} (x) ⟺ {v_{1} (x) = - \frac{b}{a} v_{2} (x) v_{2} (x) = - \frac{a}{b} v_{1} (x)$
On voit donc que $v_{1}, v_{2}$ sont linéairement indépendants

Structure de la solution générale

Théorème

Soient $v_{1}, v_{2} : I \to R$ deux solutions linéairement indépendantes de l’équation homogène $y^{''} (x) + p (x) y^{'} (x) + q (x) y (x) = 0$ . Alors la solution générale de cette équation et de la forme :
$v (x) = C_{1} v_{1} (x) + C_{2} v_{2} (x), C_{1}, C_{2} \in R, x \in I$

Démonstration

Soit $u (x)$ une solution arbitraire. Soit $x_{0} \in I$ . On pose $u (x_{0}) = a_{0}$ et $u^{'} (x_{0}) = b_{0}$ Comme $v_{1}, v_{2}$ sont linéairement indépendantes, on a le Wronskien non nul Le système suivant admet donc une unique solution $(c_{1}, c_{2}) \in R^{2}$ :
$(v_{1} (x_{0}) v_{1}^{'} (x_{0}) v_{2} (x_{0}) v_{2}^{'} (x_{0})) (c_{1} c_{2}) = (a_{0} b_{0})$
On a donc la fonction $v (x) = c_{1} v_{1} (x) + c_{2} v_{2} (x)$ , qui est une solution de l’équation et qui satisfait les conditions initiales appliquées à $u (x)$ en $x_{0}$ Par unicité de solutions EDL2 homogène, $u (x) = v (x), \forall x \in I$

Variation des constantes

On a une EDL2 complète.

Superposition des solutions

Si $v_{0} (x)$ est une solution particulière de l’EDL2 et $u (x)$ une solution de l’équation homogène associée. On a alors que $v_{0} (x) + u (x)$ est la solution de l’EDL2 complète

Pour trouver une solution particulière $v_{0}$ , on utilise la méthode de la variation des constantes. Pour deux fonctions $v_{1}, v_{2}$ solutions indépendantes de l’équation homogène. Par Ansatz:

C_{1} (x) = - \int \frac{f ( x ) v _{2} ( x )}{W [ v _{1} , v _{2} ] ( x )} d x C_{2} (x) = \int \frac{f ( x ) v _{1} ( x )}{W [ v _{1} , v _{2} ] ( x )} d x

Ce qui fait que la solution générale est $v (x) = v_{0} (x) + C_{1} v_{1} (x) + C_{2} v_{2} (x)$

L’organigramme de décisions (coeffs. indéterminés)

Est-ce que la fonction $f (x)$ est combinaison linéaire de $e^{c x} R_{n} (x)$ et $e^{a x} (cos (b x) P_{k} (x) + sin (b x) Q_{m} (x))$ , avec $R_{n} (x), P_{k} (x), Q_{m} (x)$ des polynômes de degrés $n, m, k$ et $c, a, b \in R$ ?

Non : Utiliser la variation des constantes
Oui :
1. $f (x) = e^{c x} R_{n} (x)$ : le nombre $c$ est-il une racine de l’équation caractéristique $λ^{2} + p λ + q = 0$ ?
  - Non : Ansatz : $y_{part} = e^{c x} T_{n} (x)$
  - Oui : Ansatz : $y_{part} = x^{r} e^{c x} T_{n} (x)$ , avec $r$ la multiplicité de la racine $λ = c$ et $T_{n} (x)$ un polynôme de degré $n$
2. $f (x) = e^{a x} (cos (b x) P_{k} (x) + sin (b x) Q_{m} (x))$ : Le nombre $a + ib$ est il une racine de l’équation caractéristique ?
  - Non : Ansatz $y_{part} = e^{a x} (T_{N} (x) cos (b x) + S_{N} (x) sin (b x))$
  - Oui : Ansatz $y_{part} = x e^{a x} (T_{N} (x) cos (b x) + S_{N} (x) sin (b x))$ , avec $N = max (k, m), T_{N (x)} et S_{N (x)}$ sont des polynômes de degré $N$

Résumé (EDL2 — fonctions type)

Equation complète : $y^{''} (x) + p (x) y^{'} (x) + q (x) y (x) = f (x)$
Equation homogène : $y^{''} (x) + p (x) y^{'} (x) + q (x) y (x) = 0$
Equation à coefficients constants : $y^{''} (x) + p y^{'} (x) + q^{'} y (x) = f (x)$
Equation homogène à coefficients constants : $y^{''} (x) + p y^{'} (x) + y (x) = 0$

Lecture Notes

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01.4 Equations différentielles linéaires du 2e ordre EDL2

Cas des racines complexes

Solution générale

Théorie générale

Comment résoudre

Solutions linéairement indépendantes

Structure de la solution générale

Variation des constantes

Superposition des solutions

L’organigramme de décisions (coeffs. indéterminés)

Résumé (EDL2 — fonctions type)

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