D
Soit un intervalle ouvert, Une équation de la forme : est une équation différentielle linéaire du premier ordre (ou EDL1)
On a donc On peut ensuite remplacer et dans la fonction de base pour trouver une solution La solution est donnée par La solution homogène est donnée par La solution particulière La solution générale est donc donnée par
On considère l’EDVS associée :
D
Méthode de la variation constante On cherche une fonction On appelle cela un Ansatz. Si est une solution de l’équation, alors On a donc On a donc une solution particulière de l’équation donnée par :
Proposition
Soient des fonctions continues. Si est une solution particulière d’une EDL1, alors la solution générale de l’équation est donnée par (Démonstration à savoir pour l’ exam )
de l'équation On démontre qu'il existe , tq , étant une solution particulière donnée Par le principe de superposition des solutions, la fonction est une solution L'équation est une EDVS, et comme la solution générale de cette équation est donnée par , alors il doit tq , et donc nous avons Puisque était une solution arbitraire, on a que l'ensemble de solution de l'EDL1 est , donc c'est une solution générale cqfd
On a une solution arbitraire